• Philippe G. CIARLET
• Cristinel MARDARE

Code(s) de Classification MSC:

Résumé: Si un champ ${\boldsymbol A}$ de classe ${\mathcal C}^2$ de matrices symétriques définies positives d'ordre deux et un champ ${\boldsymbol B}$ de classe ${\mathcal C}^1$ de matrices symétriques d'ordre deux satisfont les équations de Gauss et Codazzi-Mainardi dans un ouvert $\omega$ de ${\mathbb{R}}^2$ connexe et simplement connexe, alors il existe une immersion ${\boldsymbol \theta}\in {\mathcal C}^3(\omega; {\mathbb R}^3)$, définie de fa\c{c}on unique aux isométries propres de ${\mathbb{R}}^3$ près, telle que ${\boldsymbol A}$ et ${\boldsymbol B}$ soient les première et deuxième formes fondamentales de la surface ${\boldsymbol \theta}(\omega)$. Soit $\dot{\boldsymbol \theta}$ la classe d'équivalence de ${\boldsymbol \theta}$ modulo les isométries propres de ${\mathbb R}^3$ et soit ${\mathcal F}:({\boldsymbol A},{\boldsymbol B}) \to \dot{\boldsymbol \theta}$ l'application ainsi définie.

Le premier objectif de cet article est d'établir que, si $\omega$ satisfait une certaine ``propriété géodésique'' (en fait une hypothèse peu restrictive sur la régularité de la frontière de $\omega$) et si les champs ${\boldsymbol A}$ et ${\boldsymbol B}$ et leurs dérivées partielles d'ordre $\leq 2$, resp. $\leq 1$, ont des prolongements continus à $\overline \omega$, le prolongement du champ ${\boldsymbol A}$ restant défini positif sur $\overline \omega$, alors l'immersion ${\boldsymbol \theta}$ et ses dérivées partielles d'ordre $\leq 3$ ont également des prolongements continus à $\overline\omega$.

Le second objectif est d'établir que, si $\omega$ satisfait la propriété géodésique et est borné, l'application ${\mathcal F}$ peut être prolongée en une application qui est localement Lipschitz-continue pour les topologies usuelles des espaces de Banach ${\mathcal C}^2({\overline\omega})\times{\mathcal C}^1({\overline\omega})$ pour les prolongements continus des champs de matrices $({\boldsymbol A},{\boldsymbol B})$, et ${\mathcal C}^3({\overline\omega})$ pour les prolongements continus des immersions~${\boldsymbol \theta}$.

Abstract: If a field ${\boldsymbol A}$ of class ${\mathcal C}^2$ of positive-definite symmetric matrices of order two and a field ${\boldsymbol B}$ of class ${\mathcal C}^1$ of symmetric matrices of order two satisfy together the Gauss and Codazzi-Mainardi equations in a connected and simply-connected open subset $\omega$ of ${\mathbb R}^2$, then there exists an immersion ${\boldsymbol \theta}\in {\mathcal C}^3(\omega; {\mathbb R}^3)$, uniquely determined up to proper isometries in ${\mathbb R}^3$, such that ${\boldsymbol A}$ and ${\boldsymbol B}$ are the first and second fundamental forms of the surface ${\boldsymbol \theta}(\omega)$. Let $\dot{\boldsymbol \theta}$ denote the equivalence class of ${\boldsymbol \theta}$ modulo proper isometries in ${\mathbb R}^3$ and let ${\mathcal F}:({\boldsymbol A},{\boldsymbol B}) \to \dot{\boldsymbol \theta}$ denote the mapping determined in this fashion.

The first objective of this paper is to show that, if $\omega$ satisfies a certain ``geodesic property'' (in effect a mild regularity assumption on the boundary of $\omega$) and if the fields ${\boldsymbol A}$ and ${\boldsymbol B}$ and their partial derivatives of order $\leq 2$, resp. $\leq 1$, have continuous extensions to ${\overline\omega}$, the extension of the field ${\boldsymbol A}$ remaining positive-definite on ${\overline\omega}$, then the immersion ${\boldsymbol \theta}$ and its partial derivatives of order $\leq 3$ also have continuous extensions to ${\overline\omega}$.

The second objective is to show that, if $\omega$ satisfies the geodesic property and is bounded, the mapping ${\mathcal F}$ can be extended to a mapping that is locally Lipschitz-continuous with respect to the topologies of the Banach spaces ${\mathcal C}^2({\overline\omega})\times{\mathcal C}^1({\overline\omega})$ for the continuous extensions of the matrix fields $({\boldsymbol A},{\boldsymbol B})$, and ${\mathcal C}^3({\overline\omega})$ for the continuous extensions of the immersions~${\boldsymbol \theta}$.

Mots Clés: ;

Date: 2005-01-01