Auteur(s):

• Nicolas CHARALAMBAKIS
• Francois MURAT

Code(s) de Classification MSC:

Code(s) de Classification CR:

Résumé: Dans cet article, nous éeacute;tudions le système d'éeacute;quations aux déeacute;rivéeacute;es partielles
$$\eqalign{
&\rho(x) {\partial v \over \partial t} - {\partial
\over \partial x} \left(\mu(x,\theta) {\partial v \over
\partial x}\right) = f,\cr
&c(x,\theta) {\partial\theta \over \partial t} =
\mu(x,\theta) \left({\partial v \over \partial
x}\right)^2,\cr
}$$
poséeacute; dans $a < x < b$, $0 < t < T$ et compléeacute;téeacute; par des conditions aux limites sur $v$ et des conditions initiales sur $v$ et $\theta$. Les inconnues sont la vitesse $v$ et la tempéeacute;rature $\theta$, et on suppose que les coefficients $\rho$, $\mu$ et $c$ véeacute;rifient
$$
0 < c_1 \leq \mu(x,s) \leq c_2, \quad {\partial\mu
\over \partial s}(x,s) \leq 0, \quad
0 < c_3 \leq c(x,s) \leq c_4, \quad
0 < c_5 \leq \rho(x) \leq c_6.
$$
Ce système en dimension 1 d'espace modéeacute;lise le comportement de matéeacute;riaux thermo-viscoplastiques non homogènes stratifiéeacute;s dont la réeacute;sistance diminue avec la tempéeacute;rature, et dont le taux de travail plastique converti en chaleur déeacute;pend de la tempéeacute;rature. Sous les hypothèses ci-dessus, nous déeacute;montrons l'existence d'une solution en déeacute;montrant la convergence d'une approximation par éeacute;léeacute;ments finis. Supposant en outre que $\mu$ est lipschitzien en $s$, nous déeacute;montrons l'unicitéeacute; de la solution, ainsi que sa réeacute;gularitéeacute; quand les donnéeacute;es véeacute;rifient des hypothèses convenables. Ces réeacute;sultats assurent l'existence et l'unicitéeacute; d'une solution du système dans une classe pour laquelle la vitesse $v$, la tempéeacute;rature $\theta$ et la contrainte $\sigma = \mu(x,\theta) \displaystyle{\partial v \over \partial x}$ appartiennent à $L^\infty((0,T) \times (a,b))$.

Abstract: In the present paper we consider for $a < x < b$, $0 < t < T$, the system of partial differential equations
$$\eqalign{
&\rho(x) {\partial v \over \partial t} - {\partial
\over \partial x} \left(\mu(x,\theta) {\partial v \over
\partial x}\right) = f,\cr
&c(x,\theta) {\partial\theta \over \partial t} =
\mu(x,\theta) \left({\partial v \over \partial
x}\right)^2,\cr
}$$
completed by boundary conditions on $v$ and by initial conditions on $v$ and $\theta$. The unknowns are the velocity $v$ and the temperature $\theta$, while the coefficients $\rho$, $\mu$ and $c$ are supposed to satisfy
$$
0 < c_1 \leq \mu(x,s) \leq c_2, \quad {\partial\mu
\over \partial s}(x,s) \leq 0,\quad
0 < c_3 \leq c(x,s) \leq c_4,\quad
0 < c_5 \leq \rho(x) \leq c_6.
$$
This one dimensional system is a model for the behaviour of nonhomogeneous, stratified, thermoviscoplastic materials exhibiting thermal softening, and temperature dependent rate of plastic work converted into heat. Under the above hypotheses we prove the existence of a solution by proving the convergence of a finite element approximation. Assuming further that $\mu$ is Lipschitz continuous in $s$, we prove the uniqueness of the solution, as well as its regularity when suitable hypotheses are made on the data. These results ensure the existence and uniqueness of one solution of the system in a class where the velocity $v$, the temperature $\theta$ and the stress $\sigma = \mu(x,\theta) \displaystyle{\partial v \over \partial x}$ belong to $L^\infty((0,T) \times (a,b))$.

Mots Clés: ;

Date: 2004-01-01