Équations de Navier-Stokes avec densitéeacute; et viscositéeacute; variables dans l'espace critique

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Réeacute;suméeacute;: On déeacute;montre dans cet article que le système de Navier-Stokes à densitéeacute; et viscositéeacute; variables est localement bien poséeacute; dans l'espace de Besov $\dot{B}^{\frac N p}_{p1} ({\mathbb R}^N) \times \left(\dot{B}^{\frac N p -1}_{p1}({\mathbb R}^N) \right)^N,$ lorsque $1 < p \leq N$ et la densitéeacute; initiale proche d'une constante strictement positive. Ce réeacute;sultat géeacute;néeacute;ralise un travail de R. Danchin consacréeacute; au cas où la viscositéeacute; est constante et $p=2$ (voir [8]). On déeacute;montre éeacute;galement un réeacute;sultat d'existence et unicitéeacute; dans l'espace de Sobolev $H^{\frac N 2 + \alpha}({\mathbb R}^N) \times \left(H^{\frac N 2 -1 +\alpha} ({\mathbb R}^N) \right)^N$ pour $\alpha>0,$ qui géeacute;néeacute;ralise un réeacute;sultat de R. Danchin déeacute;diéeacute; aussi au cas où la densitéeacute; est constante (voir [7]).

Abstract: In this article, we show that the Navier-Stokes system with density and viscosity variables is locally well-posed in the Besov space $\dot{B}^{\frac N p}_{p1} ({\mathbb R}^N) \times \left(\dot{B}^{\frac N p -1}_{p1}({\mathbb R}^N) \right)^N,$ for $1 < p \leq N$ and that the initial density approaches a strictly positive constant. This result generalizes the work of R. Danchin for the case where the viscosity is constant and $p=2$ (see [8]). Moreover, we prove existence and uniqueness in the Sobolev space $H^{\frac N 2 + \alpha}({\mathbb R}^N) \times \left(H^{\frac N 2 -1 +\alpha} ({\mathbb R}^N) \right)^N$ for $\alpha>0,$ generalizing R. Danchin's result for the case where viscosity is constant (see [7]).

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Date: 2004-12-02