• Luc MACHIELS
• Yvon MADAY
• Dimitrios V. ROVAS

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Réeacute;suméeacute;: On éeacute;tend dans cet article l'analyse a posteriori de la méeacute;thode des bases réeacute;duites déeacute;veloppéeacute;e préeacute;céeacute;demment pour l'approximation de problèmes elliptiques déeacute;pendant d'un paramètre. La géeacute;néeacute;ralisation porte sur la prise en compte de phéeacute;nomènes instationnaires dans le cadre parabolique et sur l'obtention des bornes sur sorties ou sur des "grandeurs d'usages" calculéeacute;es a partir de l'approximation des solutions. Dans un premier temps, la méeacute;thode sans discréeacute;tisation en temps est préeacute;sentéeacute;e, la méeacute;thode de base réeacute;duite permet de calculer avec grande préeacute;cision la solution et les grandeurs d'usage avec bornes d'erreur. Ensuite une discréeacute;tisation en temps de type Galerkin non linéeacute;aire est proposéeacute;e combinéeacute;e avec l'approximation par base réeacute;duites en espace. Dans les deux cas, les éeacute;léeacute;ments constituant la base réeacute;duite sont des "instantanéeacute;s" de la solution en espace et en temps. En ce sens l'approche est assez proche de la technique des POD.

Abstract In this paper, we extend reduced-basis output bound methods developed earlier for elliptic problems, to problems described by parametrized parabolic partial differential equations. The essential new ingredient and the novelty of this paper consist in the presence of time in the formulation and solution of the problem. First, without assuming a time discretization, a reduced-basis procedure is presented to efficiently compute accurate approximations to the solution of the parabolic problem and relevant outputs of interest. In addition, we develop an error estimation procedure to a posteriori validate the accuracy of our output predictions. Second, using the discontinuous Galerkin method for the temporal discretization, the reduced-basis method and the output bound procedure are analyzed for the semidiscrete case. In both cases the reduced-basis is constructed by taking snapshots of the solution in both time and parameters. In that sense the method is close to POD.

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Date: 2004-11-26