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Réeacute;suméeacute;: Pour déeacute;crire des solides qui subissent des déeacute;formations peu réeacute;gulières, mais dont les irréeacute;gularitéeacute;s sont localiséeacute;es, beaucoup de méeacute;thodes multi-éeacute;chelles ont éeacute;téeacute; déeacute;veloppéeacute;es voir par exemple [12,18] et les réeacute;féeacute;rences qui y sont donnéeacute;es). Elles s'attachent en géeacute;néeacute;ral à coupler un modèle continu (ou macroscopique), qui déeacute;crit les zones où la déeacute;formation est réeacute;gulière, et un modèle discret (ou atomique), qui déeacute;crit les zones où la déeacute;formation préeacute;sente des singularitéeacute;s. Nous préeacute;sentons une éeacute;tude théeacute;orique de ce type de méeacute;thode en dimension un. Nous éeacute;tudions d'une part le cas d'une éeacute;nergie méeacute;canique convexe géeacute;néeacute;rale, et d'autre part le cas d'une éeacute;nergie non convexe particulière, déeacute;crite par le potentiel d'interaction de Lennard-Jones. Dans ce dernier cas, le couplage des deux modèles pose des problèmes particuliers que nous éeacute;tudions en déeacute;tail. Nous préeacute;sentons éeacute;galement une analyse numéeacute;rique des schéeacute;mas numéeacute;riques correspondants.
Abstract: In order to describe a solid which deforms smoothly in some region, but non smoothly in some other region, many multiscale methods have been recently proposed, that aim at coupling an atomistic model (discrete mechanics) with a macroscopic model (continuum mechanics). We provide here a theoretical ground for such a coupling in a one-dimensional setting. We study both the general case of a convex energy and a specific example of a nonconvex energy, the Lennard-Jones case. In the latter situation, we prove that the discretization needs to account in an adequate way for the coexistence of a discrete model and a continuous one. Otherwise, spurious discretization effects may appear.We provide a numerical analysis of the approach.
Mots Cléeacute;s: Multiscale methods ; variational problems ; continuum mechanics ; discrete mechanics
Date: 2004-06-16