On the recovery and continuity of a submanifold with boundary

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Réeacute;suméeacute;: Le Théeacute;orème fondamental de la géeacute;oméeacute;trie Riemannienne affirme qu'un espace de Riemann connexe et simplement connexe $\omega$ de ${\mathbb R}^p$ peut être isoméeacute;triquement immergéeacute; dans l'espace euclidien ${\mathbb R}^{p+q}$ si et seulement s'il existe des tenseurs satisfaisant les éeacute;quations de Gauss-Ricci-Codazzi, auquel cas ces immersions sont déeacute;terminéeacute;es aux isoméeacute;tries de ${\mathbb R}^{p+q}$ près. De cette façon, on peut déeacute;finir une application qui associe à ces tenseurs la sous-variéeacute;téeacute; ainsi construite. Cet article a deux objectifs : sous une certaine hypothèse de réeacute;gularitéeacute; de la frontière de $\omega$, on éeacute;tablit un réeacute;sultat analogue d'existence et unicitéeacute; d'une sous-variéeacute;téeacute; "jusqu'au bord", puis l'on montre que l'application construite préeacute;céeacute;demment est localement lipschitzienne pour les topologies usuelles des espaces de Banach $C^l(\overline \omega)$, $l\geq 1$.


Abstract: The fundamental theorem of Riemannian geometry asserts that a connected and simply-connected Riemannian space $\omega$ of ${\mathbb R}^p$ can be isometrically immersed into the Euclidean space ${\mathbb R}^{p+q}$ if and only if there exist tensors satisfying the Gauss-Ricci-Codazzi equations, in which case these immersions are uniquely determined up to isometries in ${\mathbb R}^{p+q}$. In this fashion, we can define a mapping wich associates with these prescribed tensors the reconstructed submanifold. The purpose or this paper is twofold: under a smoothness assumption on the boundary of $\omega$, we first establish an analogous result for the existence and uniqueness of a submanifold "with boundary" and then show that the mapping constructed in this fashion is locally Lipschitz-continuous with respect to the topology of the Bancach spaces $C^l(\overline \omega)$, $l\geq 1$.

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Date: 2004-06-17