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• G. GRISO

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Réeacute;suméeacute;: La première partie de cette éeacute;tude est consacréeacute;e à des inéeacute;galitéeacute;s de base. La Proposition 3.3 et le Théeacute;orème 3.4 donnent les majorations de la distance entre l'éeacute;clatéeacute; du gradient d'une fonction de $\scriptstyle H^1(\Omega)$ et l'espace $\scriptstyle \nabla_y L^2(\Omega ; H^1_{per}(Y))$ (proposition 3.3) et $\scriptstyle \nabla_x H^1(\Omega)\oplus \nabla_y L^2(\Omega ; H^1_{per}(Y))$ (Théeacute;orème 3.4). Ces distances sont obtenues grâce à un réeacute;sultat technique préeacute;sentéeacute; dans le Théeacute;orème 2.3 : le déeacute;faut de péeacute;riodicitéeacute; d'une fonction harmonique appartenant à $\scriptstyle H^1(Y)$, $\scriptstyle Y=[0,1]^n$, s'exprime à l'aide des normes $\scriptstyle H^{1/2}$ des difféeacute;rences de ses traces sur les faces opposéeacute;es de la cellule $\scriptstyle Y$.

Les difféeacute;rentes estimations de l'erreur font l'objet des théeacute;orèmes du paragraphe 4. On cherche à mesurer la distance entre la solution d'un problème de diffusion à coefficients péeacute;riodiques et fortement oscillants $\scriptstyle (4.1)$ et sa limite : la solution du problème $\scriptstyle (4.2)$ donnéeacute;e sous la forme éeacute;clatéeacute;e. Dans les Théeacute;orèmes 4.1 et 4.2 on envisage le cas d'un ouvert $\scriptstyle \Omega$ de frontière assez réeacute;gulière ($\scriptstyle {\cal C}^{1,1}$) et des conditions aux limites homogène de Dirichlet ou de Neumann. On part du problème éeacute;clatéeacute; $\scriptstyle (4.2)$, on choisit une fonction-test $\scriptstyle \Psi$ appartenant à $\scriptstyle H^1(\Omega)$ à laquelle on associe une fonction de $\scriptstyle L^2(\Omega ; H^1_{per}(Y))$ grâce au Théeacute;orème 3.4. En utilisant l'éeacute;clatement inverse on obtient une solution approchéeacute;e de $\scriptstyle (4.1)$. La coercivitéeacute; de l'opéeacute;rateur elliptique donne ensuite l'estimation de l'erreur.


Abstract: The first part of this paper is dedicated to basic inequalities. Proposition 3.3 and Theorem 3.4 give the upper bounds of the distance between the unfolded gradient of a function of $\scriptstyle H^1(\Omega)$ and the space $\scriptstyle \nabla_y L^2(\Omega ; H^1_{per}(Y))$ (Proposition 3.3) and $\scriptstyle\nabla_x H^1(\Omega)\oplus \nabla_y L^2(\Omega ; H^1_{per}(Y))$ (Theorem 3.4). These distances are obtained thanks to a technical result presented in Theorem 2.3 : the periodic defect of a harmonic function belonging to $\scriptstyle H^1(Y)$, $\scriptstyle Y=[0,1]^n$, is written with the help of the norms $\scriptstyle H^{1/2}$ of its traces differences on the opposite faces of the cell $\scriptstyle Y$.

The various error estimates make up the Theorems in Section 4. We want to measure the distance between the solution of a diffusion problem with periodic and strongly oscillating coefficients $\scriptstyle (4.1)$ and its limit: the solution of problem $\scriptstyle (4.2)$ given in its unfolded form. In Theorems 4.1 and 4.2 we consider the case of an open set $\scriptstyle \Omega$ with sufficiently smooth boundary ($\scriptstyle {\cal C}^{1,1}$) and of homogeneous Dirichlet or Neuman limits conditions. We start from the unfolded problem $\scriptstyle (4.2)$ and we choose a test-function $\scriptstyle \Psi$ belonging to $\scriptstyle H^1(\Omega)$. We associate to this function a function of $\scriptstyle L^2(\Omega ; H^1_{per}(Y))$ thanks to Theorem 3.4. We use the inverse unfolded operator to obtain an approximated solution to $\scriptstyle (4.1)$. The coercivity of the elliptic operator gives then the error estimate.

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Date: 2004-06-22