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Réeacute;suméeacute;: Nous déeacute;montrons la stabilitéeacute; dans $W^{1,\infty}(\Omega)\times L^\infty(\Omega)$ de l'approximation par éeacute;léeacute;ments finis du problème de Stokes, i.e., la norme du maximum du gradient de la vitesse et celle de la pression, calculéeacute;s par des méeacute;thodes d'éeacute;léeacute;ments finis usuelles pour discréeacute;tiser le problème de Stokes, sont bornéeacute;es indéeacute;pendemment du pas de la discréeacute;tisation. La déeacute;monstration est baséeacute;e sur des estimations à poids dans $L^2$ pour des fonctions de Green associéeacute;es au problème de Stokes et sur une condition inf-sup à poids. Le domaine est un polygone ou un polyèdre Lipschitz dont les angles intéeacute;rieurs satisfont des conditions suffisantes convenables pour assurer que la solution exacte est aussi bornéeacute;e dans $W^{1,\infty}(\Omega)\times L^\infty(\Omega)$. La triangulation est uniforméeacute;ment réeacute;gulière.
Abstract: We prove stability of the finite element Stokes projection in the product space $W^{1,\infty}(\Omega)\times L^\infty(\Omega)$, i.e., the maximum norm of the discrete velocity gradient and discrete pressure are bounded by the sum of the corresponding exact counterparts, independently of the mesh-size. The proof relies on weighted $L^2$ estimates for regularized Green's functions associated with the Stokes problem and on a weighted inf-sup condition. The domain is a Lipschitz polygon or polyhedron, satisfying suitable sufficient conditions on the inner angles of its boundary, so that the exact solution is bounded in $W^{1,\infty}(\Omega)\times L^\infty(\Omega)$. The triangulation is shape-regular and quasi-uniform. The finite element spaces satisfy a super-approximation property, which is shown to be valid for commonly used stable finite element spaces.
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Date: 2004-05-01