• A. AFTALION
• X. BLANC

Code(s) de Classification MSC:

Réeacute;suméeacute;: Des expéeacute;riences réeacute;centes sur les condensats de Bose-Einstein montrent que le déeacute;placement d'un faisceau laser (modeliséeacute; par un cylindre $\cal C$ le long de la direction $z$) selon la direction $x$, se fait sans dissipation à faible vitesse. Ceci est reliéeacute; à l'existence de solutions sans vortex de l'éeacute;quation $\D u - 2ic \p_x u +(z-|u|^2)u=0,$ où $u$ est une fonction à valeurs complexes, $(x,y,z) \in {\mathbb R}^3\setminus{\cal C}$, et $c$ est la vitesse du faisceau laser. Une particularitéeacute; des condensats de Bose-Einstein est leur inhomogéeacute;néeacute;itéeacute; : loin du cylindre, la fonction d'onde se comporte comme la solution $p(z)$ de l'éeacute;quation de Painlevéeacute; $p'' + (z-p^2)p = 0$, et en particulier s'annule sur le bord du condensat. Lorsque $c$ est petit, nous prouvons l'existence de soltuions sans vortex. Notre déeacute;monstration repose sur l'unicitéeacute; des solutions à $c=0$, que nous éeacute;tablissons grâce à un déeacute;couplage particulier de l'éeacute;nergie et une éeacute;galitéeacute; de Pohozaev. Un autre ingréeacute;dient cléeacute; est l'estimation du moment en fonction de l'éeacute;nergie.

Abstract: In recent experiments on Bose-Einstein condensates (BEC), it has been observed that when a laser beam, modelled by a cylinder $\cal C$ along the $z$ direction, is translated in the $x$ direction along the condensate, there is no dissipation at small velocity. This is related to the existence of vortex-free solutions of $\D u - 2ic \p_x u +(z-|u|^2)u=0,$ where $u$ is a complex-valued function, $(x,y,z) \in {\mathbb R}^3\setminus{\cal C}$, and $c$ is the velocity of the laser. One particularity of BEC is its inhomogeneity, so that, away from the cylinder, the wave function $u$ varies in $z$ like the solution $p(z)$ of the Painlevéeacute; equation $p'' + (z-p^2)p = 0$ and in particular vanishes near the boundary of the condensate. For small $c$, we prove the existence of vortex free solutions. Our proof relies on the uniqueness of solutions at $c=0$, that we derive using a special decoupling of the energy and a Pohozaev identity. Another key tool is to estimate the momentum in terms of the energy.

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Date: 2004-01-01