On the isoperimetric problem in the Heisenberg group H^n

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Réeacute;suméeacute;: Une conjecture réeacute;cente affirme que les ensembles isopéeacute;riméeacute;triques du groupe d'Heisenberg H^n muni de sa méeacute;trique de Carnot-Carathéeacute;odory et de sa mesure de Haar coïncident avec les solutions d'un problème isopéeacute;riméeacute;trique "restreint" à la classe des ensembles de péeacute;rimètre fini à frontière réeacute;gulière et à syméeacute;trie cylindrique. Nous éeacute;tablissons ici de nouvelles propriéeacute;téeacute;s de ces ensembles péeacute;riméeacute;triques "restreints", que nous appelons "bulles d'Heisenberg". Nous montrons en particulier que leur frontière est à H-courbure moyenne constante et, curieusement, qu'elle coïncide avec l'enveloppe d'une famille de géeacute;odéeacute;siques minimales reliant deux points particuliers. Dans la perspective de la conjecture mentionnéeacute;e ci-dessus, nous nous intéeacute;ressons aux relations entre le volume, le péeacute;rimètre et les epsilon-dilatations. Nous montrons ainsi une inéeacute;galitéeacute; de Brunn-Minkowski avec exposant topologique et éeacute;tablissons le fait que le H-péeacute;rimètre d'un sous-ensemble de H^n ouvert, bornéeacute; et de classe C^2, peut être calculéeacute; par le biais d'un contenu de Minkowski "géeacute;néeacute;raliséeacute;", c'est-à-dire que l'on peut déeacute;finir relativement à n'importe quel ensemble bornéeacute; donc la projection horizontale est le disque unitéeacute; de dimension 2n. Nous nous intéeacute;ressons ensuite à quelques conséeacute;quences de ces réeacute;sultats.

Abstract:
It has been recently conjectured that, in the context of the Heisenberg group H^n endowed with its Carnot-Carathéeacute;odory metric and Haar measure, the isoperimetric sets (i.e., minimizers of the H-perimeter among sets of constant Haar measure) could coincide with the solutions to a ``restricted'' isoperimetric problem within the class of sets having finite perimeter, smooth boundary, and cylindrical symmetry. In this paper, we derive new properties of these restricted isoperimetric sets, that we call "Heisenberg bubbles". In particular, we show that their boundary has constant mean H-curvature and, quite surprisingly, that it is foliated by the family of minimal geodesics connecting two special points. In view of a possible strategy for proving that Heisenberg bubbles are actually isoperimetric among the whole class of measurable subsets of H^n, we turn our attention to the relationship between volume, perimeter and epsilon-enlargements. In particular, we prove a Brunn-Minkowski inequality with topological exponent as well as the fact that the H-perimeter of a bounded, open subset of H^n of class $C^2$ can be computed via a generalized Minkowski content, defined by means of any bounded set whose horizontal projection is the 2n-dimensional unit disc. Some consequences of these properties are discussed.

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Date: 2004-01-01