Recovery of a Manifold with Boundary and its Continuity as a Function of its Metric Tensor

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Résumé: A basic theorem from differential geometry asserts that, if the Riemann curvature tensor associated with a field ${\boldsymbol C}$ of class ${\mathcal C}^2$ of positive-definite symmetric matrices of order $n$ vanishes in a connected and simply-connected open subset $\Omega$ of ${\mathbb{R}}^n$, then there exists an immersion ${\boldsymbol \Theta} \in {\mathcal C}^3(\Omega; {\mathbb{R}}^n)$, uniquely determined up to isometries in ${\mathbb{R}}^n$, such that ${\boldsymbol C}$ is the metric tensor field of the manifold ${\boldsymbol \Theta} (\Omega)$, then isometrically immersed in ${\mathbb{R}}^n$. Let $\dot {\boldsymbol \Theta}$ denote the equivalence class of ${\boldsymbol \Theta}$ modulo isometries in ${\mathbb{R}}^n$ and let ${\mathcal F}:{\boldsymbol C} \to \dot {\boldsymbol \Theta}$ denote the mapping determined in this fashion.

The first objective of this paper is to show that, if $\Omega$ satisfies a certain ``geodesic property'' (in effect a mild regularity assumption on the boundary $\partial \Omega$ of $\Omega$) and if thefield ${\boldsymbol C}$ and its partial derivatives of order $\leq 2$ have continuous extensions to $\overline\Omega$, the extension of the field ${\boldsymbol C}$ remaining positive-definite on $\overline \Omega$, then the immersion ${\boldsymbol \Theta}$ and its partial derivatives of order $\leq 3$ also have continuous extensions to $\overline \Omega$.

The second objective is to show that, under a slightly stronger regularity assumption on $\partial \Omega$, the above extension result combined with a fundamental theorem of Whitney leads to a stronger extension result: There exist a connected open subset $\widetilde \Omega$ of ${\mathbb{R}}^n$ containing $\overline \Omega$ and a field $\widetilde {\boldsymbol C}$ of positive-definite symmetric matrices of class ${\mathcal C}^2$ on $\widetilde \Omega$ such that $\widetilde {\boldsymbol C}$ is an extension of ${\boldsymbol C}$ and the Riemann curvature tensor associated with $\widetilde {\boldsymbol C}$ still vanishes in $\widetilde \Omega$.

The third objective is to show that, if $\Omega$ satisfies the geodesic property and is bounded, the mapping ${\mathcal F}$ can be extended to a mapping that is locally Lipschitz-continuous with respect to the topologies of the Banach spaces ${\mathcal C}^2(\overline \Omega)$ for the continuous extensions of the symmetric matrix fields ${\boldsymbol C}$, and ${\mathcal C}^3(\overline \Omega)$ for the continuous extensions of the immersions ${\boldsymbol \Theta}$. \\[1cm]\noindent


Abstract: Un théorème de base de la géométrie différentielle affirme que, si le tenseur de courbure de Riemann associé à un champ ${\boldsymbol C}$ de classe ${\mathcal C}^2$ de matrices symétriques définies positives d'ordre $n$ s'annule sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbb{R}}^n$ connexe et simplement connexe, alors il existe une immersion ${\boldsymbol \Theta} \in {\mathcal C}^3 (\Omega; {\mathbb{R}}^n)$, définie de fa\c{c}on unique aux isométries de ${\mathbb{R}}^n$ près, telle que ${\boldsymbol C}$ soit le champ de tenseurs métriques de la variété ${\boldsymbol \Theta} (\Omega)$, celle-ci étant plongée isométriquement dans ${\mathbb{R}}^n$. Soit $\dot {\boldsymbol \Theta}$ la classe d'équivalence de ${\boldsymbol \Theta}$ modulo les isométries de ${\mathbb{R}}^n$ et soit ${\mathcal F}:{\boldsymbol C} \to \dot {\boldsymbol \Theta}$ l'application ainsi définie.

Le premier objectif de cet article est d'établir que, si $\Omega$ satisfait une certaine ``propriété géodésique'' (en fait une hypothèse peu restrictive sur la régularité de la frontière $\partial \Omega$ de $\Omega$) et si le champ ${\boldsymbol C}$ et ses dérivées partielles d'ordre $\leq 2$ ont des prolongements continus à $\overline \Omega$, le prolongement du champ ${\boldsymbol C}$ restant défini positif sur $\overline \Omega$, alors l'immersion ${\boldsymbol \Theta}$ et ses dérivées partielles d'ordre $\leq 3$ ont également des prolongements continus à $\overline \Omega$.

Le second objectif est d'établir que, moyennant une hypothèse de régularité légèrement plus forte sur $\partial \Omega$, le résultat de prolongement ci-dessus combiné avec un théorème fondamental de Whitney conduit à un résultat plus fort de prolongement: Il existe un ouvert $\widetilde \Omega$ connexe de ${\mathbb{R}}^n$ contenant $\overline \Omega$ et un champ $\widetilde {\boldsymbol C}$ de matrices symétriques définies positives de classe ${\mathcal C}^2$ sur $\widetilde \Omega$ tels que $\widetilde {\boldsymbol C}$ soit un prolongement de ${\boldsymbol C}$ et le tenseur de courbure de Riemann associé à $\widetilde {\boldsymbol C}$ reste nul sur $\widetilde \Omega$.

Le troisième objectif est d'établir que, si $\Omega$ satisfait la propriété géodésique et est borné, l'application ${\mathcal F}$ peut ĂȘtre prolongée en une application qui est localement Lipschitz-continue pour les topologies usuelles des espaces de Banach ${\mathcal C}^2 (\overline \Omega)$ pour les prolongements continus des champs de matrices symétriques ${\boldsymbol C}$, et ${\mathcal C}^3 (\overline \Omega)$ pour les prolongements continus des immersions ${\boldsymbol \Theta}$.

Mots Clés: Differential geometry; nonlinear elasticity

Date: 2004-01-01