The fundamental theorem of surface theory for surfaces with little regularity

Auteur(s):

Le document est une prépublication

Code(s) de Classification MSC:

Résumé: On considère un champ de matrices symétriques définies positives d'ordre deux et un champ de matrices symétriques d'ordre deux qui satisfont ensemble les équations de Gauss et de Codazzi-Mainardi dans un ouvert connexe et simplement connexe de $\R^2$. Si ces champs sont respectivement de classe $C^2$ et $C^1$, alors le théorème fondamental de la théorie des surfaces affirme qu'il existe une surface plongée dans l'espace Euclidien tridimensionnel dont ces champs sont les première et deuxième formes fondamentales. L'objet de cette Note est d'établir que ce théorème reste vrai sous les hypothèses de régularités affaiblies selon lesquelles ces champs sont respectivement de classe $W^{1,\infty}_{{loc}}$ et $L^{\infty}_{{loc}}$, les équations the Gauss et de Codazzi-Mainardi étant alors satisfaites aux sens des distributions.


Abstract: Consider a symmetric, positive definite matrix field of order two and a symmetric matrix field of order two that satisfy together the Gauss and Codazzi-Mainardi equations in a connected and simply connected open subset of $\R^2$. If the matrix fields are respectively of class $C^2$ and $C^1$, the fundamental theorem of surface theory asserts that there exists a surface immersed in the three-dimensional Euclidean space with these fields as its first and second fundamental forms. The purpose of this paper is to prove that this theorem still holds under the weaker regularity assumptions that the matrix fields are respectively of class $W^{1,\infty}_{{loc}}$ and $L^{\infty}_{{loc}}$, the Gauss and Codazzi-Mainardi equations being then understood in a distributional sense.

Mots Clés: ;

Date: 2004-01-22