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Résumé: Nous considérons une classe de poutres courbes circulaires de rayon $\delta$. Le but de ce travail est d'étudier le comportement asymptotique de ces poutres lorsque $\delta\to 0$. Cette étude est menée dans le cadre de l'élasticité linéaire en utilisant la méthode d'éclatement. Elle est basée sur deux décompositions des déplacements de ces poutres, et sur le passage à la limite dans un domaine fixe. Dans une première décomposition, tout déplacement d'une poutre est la somme d'un déplacement élémentaire concernant les translations et les rotations, et d'un déplacement résiduel lié aux déformations de sa section droite. La deuxième décomposition caractérise les déplacements de sa ligne moyenne. On montre qu'un tel déplacement est la somme d'un déplacement extensionnel et d'un déplacement inextensionnel. Si le premier modifie la longueur de la ligne moyenne, par contre le deuxième ne la change pas en première approximation. Nous montrons que la norme $H^1$ d'un déplacement inextensionnel est d'ordre 1, tandis que celle d'un déplacement extensionnel est en général, d'ordre $\delta$. Nous établissons des estimations a priori et des résultats de convergence pour les déplacements lorsque $\delta\to 0$. Nous caractérisons les limites de leurs éclatés, ainsi que les limites des éclatés des tenseurs descontraintes et des déformations. Les deux décompositions sont essentielles dans la preuve de ces convergences. En passant ensuite à la limite pour $\delta\to 0$ dans le système de l'élasticité linéaire, nous obtenons d'une part un problème variationnel vérifié par la limite des déplacements extensionnels, et d'autre part un problème variationnel couplant la limite des déplacements inextensionnels avec la limite des angles de torsion de la poutre.


Abstract: We consider in this work general curved rods with a circular cross-section of radius $\delta$. Our aim is to study the asymptotic behaviour of such rods as $\delta\to 0$, in the framework of the linear elasticity according to the unfolding method. It consists in giving some decompositions of the displacements of such rods, and then in passing to the limit in a fixed domain. A first decomposition concerns the elementary displacements of a curved rod which characterize its translations and rotations, and the residual displacements related to the deformation of the cross-section. The second decomposition concerns the displacements of the middle-line of the rod. We prove that such a displacement can be written as the sum of an inextensional displacement and of an extensional one. An extensional displacement will modify the length of the middle-line, while an inextensional displacement will not change this length in a first approximation. We show that the $H^1-$norm of an inextensional displacement is of order 1, while that of an extensional displacement is in general, of order $\delta$. A priori estimates are established and convergence results as $\delta\to 0$, are given for the displacements. We give their unfolded limits, as well as the unfolded limits of the strain and stress tensors. To prove the convergence of the strain tensor, the introduction of elementary and residual displacements appears as essential. By passing to the limit as $\delta\to 0$ in the linearized system of the elasticity, we obtain on the one hand, a variational problem that is satisfied by the limit extensional displacement, and on the other hand, a variational problem coupling the limit of inextensional displacements and the limit of the angle of torsion.

Mots Clés: ;

Date: 2004-01-22