• A. HARAUX

Code(s) de Classification MSC:

Résumé: Lorsque $A = A^*\ge 0$ sur l'espace de Hilbert rel $H = L^2(\Omega, d\mu)$ avec
$(I+A)^{-1}$ compact et $ Ker A = A^{-1}(\{0\}) \not=0 $ et $f(u) = c\vert u \vert ^{p -1} u $ avec $ c>0,\, p>1$, les solutions de $ u''+ u'+ Au +f(u)= 0 $ tendent vers 0 en norme au moins comme $ t^{-{1\over{p-1}}}$ lorsque $t\rightarrow \infty$. On établit ici que l'ensemble des données initiales des solutions qui tendent vers $0$ exponentiellement a au voisinage de $0$ la structure d'une variété de codimension $\dim (Ker A)$. Lorsque $A = -\Delta $ avec conditions aux limites de Neumann homognes, on montre en outre l'alternative suivante: soit $u(t)$ tend vers $0$ exponentiellement, soit $\Vert u(t)\Vert\ge \gamma t^{-{1\over{p-1}}}$ avec $\gamma>0$ pour $t\ge 1$.

Abstract: If $A = A^*\ge 0$ on the real Hilbert space $H = L^2(\Omega, d\mu)$ with $ Ker A = A^{-1}(\{0\}) \not=0 , \quad(I+A)^{-1}$ compact and $f(u) = c\vert u \vert ^{p -1} u $ with $ c>0,\, p>1$, the solutions of $ u''+ u'+ Au +f(u)= 0 $ tend to 0 in norm at least like $ t^{-{1\over{p-1}}}$ as $t\rightarrow \infty$. Here it is shown that the set of initial data of those solutions tending to $0$ exponentially fast has nearby $0$ the structure of a manifold with codimension $\dim (Ker A)$. If in addition $A = -\Delta $ with Neumann homogeneous boundary conditions, we show that the following alternative holds true: either $u(t)$ tends to $0$ exponentially fast, or $\Vert u(t)\Vert\ge \gamma t^{-{1\over{p-1}}}$ with $\gamma>0$ for $t\ge 1$.

Mots Clés: ;

Date: 2003-05-01