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Résumé: Dans cet article on étudie le comportement asymptotique d'un
problème dépendant d'un petit paramètre $\varepsilon$,
modélisant la diffusion de la chaleur dans un conducteur
$\Omega$ à deux composantes,
$\Omega=\Omega^{\varepsilon}_{1} \cup \overline {\Omega^{\varepsilon}_{2}}$. Suite à
une résistance de contact, le flux de chaleur à
travers l'interface est proportionnel, par une
fonction d'ordre $\varepsilon^\gamma$, au saut de température.
Plus précisément, on donne un résultat
d'homogénéisation, pour $ \gamma>-1$, pour le problème
$$\left\{ \eqalign{
&- \hbox{div} (A^\varepsilon \nabla u^\varepsilon ) = f \quad \hbox {dans
}\Omega^{\varepsilon}_{1}\cup\Omega^{\varepsilon}_{2}, \cr & [A^\varepsilon
\nabla u^\varepsilon ] \cdot n =0
\quad \hbox
{sur } \Gamma^{\varepsilon}, \cr &A^{\varepsilon} \nabla \
u^{\varepsilon}_{1} \cdot n = -
\varepsilon ^{\gamma}h^{\varepsilon }[u^\varepsilon ] \quad \hbox {sur }
\Gamma^{\varepsilon}, \cr
&u^\varepsilon = 0 \quad
\hbox {sur } \partial \Omega, \cr } \right. $$
où
$\Omega^{\varepsilon}_{1}$ est connexe,
$\Omega^{\varepsilon}_{2}$ est une réunion d'inclusions (dconnectes)
$\varepsilon$-périodiques de taille $\varepsilon$ et
$\Gamma^{\varepsilon}= \partial
\Omega^{\varepsilon}_{2}$ est l'interface entre les deux
conducteurs et où $A^{\varepsilon}(x)=A(x /\varepsilon)$, $n$
est le vecteur unité de la normale extérieure
$\Omega^{\varepsilon}_{1}$ et
$u_1^\varepsilon=u^\varepsilon|_{\Omega^\varepsilon_1}$.
Les cas $-1<\gamma\leq 1$ (thorme 2.2) et $\gamma>1$
(thorme 2.2) sont traités séparmment, car les
estimations a priori sont d'ordre diffrent.
Abstract:
In this paper, we describe the asymptotic
behaviour of a problem depending on a small parameter $\e>0$,
modelling the stationary heat diffusion in a two-component
conductor. Due to a contact resistance on the interface, the
flow of heat is proportional to the jump of the temperature
field.
More precisely, we give an homogenization result, for
$\gamma>-1$, for the problem
$$\left\{ \eqalign{
&- \hbox{div} (A^\varepsilon \nabla u^\varepsilon ) =
f \quad \hbox {in
}\Omega^{\varepsilon}_{1}\cup\Omega^{\varepsilon}_{2}, \cr & [A^\varepsilon
\nabla u^\varepsilon ] \cdot n =0
\quad \hbox
{on } \Gamma^{\varepsilon}, \cr &A^{\varepsilon} \nabla \
u^{\varepsilon}_{1} \cdot n = -
\varepsilon ^{\gamma}h^{\varepsilon }[u^\varepsilon ] \quad
\hbox {on }
\Gamma^{\varepsilon}, \cr
&u^\varepsilon = 0 \quad
\hbox {on } \partial \Omega, \cr } \right. $$
where
$\Omega^{\varepsilon}_{1}$ is connected,
$\Omega^{\varepsilon}_{2}$ is a union of deconnected
$\varepsilon$-periodic inclusions of size
$\varepsilon$ and
$\Gamma^{\varepsilon} = \partial
\Omega^{\varepsilon}_{2}$ is the interface between the two
conductors. Here,
$A^{\varepsilon}(x)=A(x /\varepsilon)$, $n$
denotes the
unit outward normal to $ \ouno$ and
$u_i^\e=u^\e|_{\o_i ^\e}$
$i=1,2$.
We describe the limit problem for $\gamma>-1$. Due to different
a priori estimates, the two
cases $-1<\gamma\leq 1$ (Theorem 2.2) and $\gamma>1$ (Theorem 2.4)
need to be treated separately.
Mots Clés: ;
Date: 2003-05-01