Auteur(s):
Code(s) de Classification MSC:
Résumé: Nous étudions le comportement asymptotique, quand $\varepsilon \rightarrow 0$, d'un problème de diffusion non linéaire à croissance $p-1$ ($p\in ]1,+\infty[$), avec condition limite de Neumann, posé sur un domaine borné $\Omega_\varepsilon\subset \R^N$ $(N\geq2)$. Le domaine $\Omega_\varepsilon$ est composé de deux sous-domaines. Le premier sous-domaine, d'épaisseur $h_\varepsilon$ dans la direction $x_N$, devient une plaque lorsque $\varepsilon$ tend vers $0$. Le deuxième sous-domaine est une "forêt" de cylindres distribués avec $\varepsilon$ périodicité dans les premières $N-1$ directions sur la surface supérieure de la plaque. Chaque cylindre a une section de taille $\varepsilon$ et une hauteur fixe (voir la figure dans la section 1). Nous identifions le problème limite sous l'hypothèse $\displaystyle{\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} {\varepsilon^p\over h_\varepsilon}=0}$. Après changement d'échelle dans la plaque, nous montrons que le problème limite dans le domaine correspondant à la forêt de cylindres est un problème de diffusion en $x_N$ couplé à un système algébrique. Nous prouvons que la solution limite est indépendante de $x_N$ dans la plaque et est continue (au sens des traces) sur la surface qui sépare le domaine limite correspondant à la "forêt" de cylindres et la surface supérieure de la plaque.
Abstract:
We investigate the asymptotic behaviour, as $\varepsilon\rightarrow 0$, of a class of monotone nonlinear Neumann problems, with growth $p-1$ ($p\in ]1,+\infty[$), on a bounded multidomain $\Omega_\varepsilon\subset \R^N$ $(N\geq2)$. The multidomain $\Omega_\varepsilon$ is composed of two domains. The first one is a plate which becomes asymptotically flat, with thickness $h_\varepsilon$ in the $x_N$ direction, as $\varepsilon\rightarrow 0$. The second one is a "forest" of cylinders distributed with $\varepsilon$-periodicity in the first $N-1$ directions on the upper side of the plate. Each cylinder has a small cross section of size $\varepsilon$ and fixed height (see the figure in Section 1). We identify the limit problem, under the assumption: $\displaystyle{\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} {\varepsilon^p\over h_\varepsilon}=0}$. After rescaling the equation, with respect to $h_\varepsilon$, on the plate, we prove that, in the limit domain corresponding to the "forest" of cylinders, the limit problem identifies with a diffusion operator with respect to $x_N$, coupled with an algebraic system. Moreover, the limit solution is independent of $x_N$ in the rescaled plate and meets a Dirichlet transmission condition between the limit domain of the "forest" of cylinders and the upper boundary of the plate
Mots Clés: ;
Date: 2002-07-02