An optimal estimate for the difference of solutions of two abstract evolution equations

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Résumé: R. Ikehata et K. Nishihara ont montré que la différence de toute solution $u$ d'une équation des ondes abstraite et d'une solution $v$ bien choisie d'une équation de la chaleur abstraite associée décroît comme $t^{-1} (\log t)^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$ en temps. Ils ont conjecturé que cette décroissance est en fait comme $t^{-1}$ . On prouve ici la validité de cette conjecture en utilisant le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints. On établit aussi l'optimalité de cette estimation pour l'équation des ondes dans un domaine extérieur.

Abstract: R. Ikehata et K. Nishihara have established that the difference between any solution $u$ of a linearly damped abstract wave equation and a certain solution $v$ of a related abstract heat equation decays at least like $t^{-1} (\log t)^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$ as time tends to infinity. They conjectured that the decay is in fact like $t^{-1}$ . We prove here the validity of this conjecture by relying on the spectral theorem for unbounded self-adjoint operators. We also establish the optimality of this estimate for the wave equation in an exterior domain.

Mots Clés: ;

Date: 2002-07-01