A fast multiple method for Maxwell equations stable at all frequencies

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Résumé: La Méthode Multipole Rapide (FMM) est une méthode numérique permettant de calculer des intégrales de convolution. Son application aux équations de Maxwell et Helmholtz (noyau en $\exp (\imath (5k (B r)/r$), fut initiée par V. Rokhlin. Elle a deux inconvénients majeurs. Premièrement, la méthode échoue lorsque la taille des cellules devient trop petite devant la longueur d'onde (problème connu sous le nom de \emph{sub-wavelength breakdown}). La seconde limitation est que, numériquement, l'approximation est limitée à une erreur relative de $10^{-4}$, même pour un grand nombre de pôles. Ceci provient d'instabilités numériques qui, couplée aux erreurs d'arrondis, conduit à une divergence de la méthode lorsque le nombre de pôles dépasse un certain seuil. Nous avons développé une nouvelle variante de la FMM de complexité $n \log n$ qui est basée sur une décomposition en ondes planes. Dans cet article, nous allons décrire nos premiers résultats numériques ainsi que son implémentation pour résoudre les équations de Maxwell. Les résultats ici exposés ne sont pas encore totalement optimisés et nous allons restreindre notre présentation aux idées principales de la validation de la méthode et à quelques cas réalistes.


Abstract:
The Fast Multipole Method (FMM) is a numerical method to compute convolution integrals. Its derivative to Maxwell and Helmholtz equations (kernel in $\exp (\imath (5k (B r)/r$) was initiated by V. Rokhlin. It has two major drawbacks. First, the method fails when the size of the clusters becomes very small compared to the wavelength (this problem is known as \emph{sub-wavelength breakdown}). The second limitation is the fact that numerically the approximation error of the method cannot be reduced beyond 4 digits of relative error even when the number of poles is increased. This is due to numerical instabilities which, when coupled to roundoff errors, lead to a divergence of the method as the number of poles is increased beyond a certain threshold. We have developed a new variant of the FMM with complexity $n \log n$ which is based on plane wave expansions. This new formulation leads to a method which is stable at all frequencies (no sub-wavelength breakdown) and is arbitrarily accurate. In this article, we will describe our first numerical results and the implementation for solving Maxwell Equations. The results shown here are not yet fully optimized and we will restrict our presentation to the main idea to the validation of the method and to some full-size examples.

Mots Clés: ;

Date: 2002-08-02