Which sequences of holes are admissible for periodic homogenization with Neumann boundary conditions ?

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Résumé: Ce papier donne une présentation générale de l'homogénéisation du problème de Neumann dans des domaines perforés périodiquement, en incluant le cas où la forme du trou de référence varie avec la taille de la période (dans l'esprit de la construction de trous fractals auto-similaires). On montre qu'il y a H$^0$-convergence dès qu'il existe des opérateurs de prolongement dans le trou de référence uniformément bornés par rapport au paramtère d'homogénéisation. Un exemple où ce résultat s'applique est donné par les domaines de Jones Quand cette hypothèse n'est pas vrifiée, une autre approche consiste à utiliser l'ingalité de Poincaré-Wirtinger. Cette situation correspond aux domaines de John, pour lequels la constante de Poincaré-Wirtinger est controlée. Quelques exemples sont aussi présentés.



Abstract: In this paper we give a general presentation of the homogenization of Neumann type problems in periodically perforated domains, including the case where the shape of the reference hole varies with the size of the period (in the spirit of the construction of self-similar fractals). We shows that H$^0$-convergence holds under the extra assumption that there exists a bounded sequence of extension operators for the reference holes. The general class of Jones-domains gives an example where this result applies. When this assumption fails, another approach, using the Poincar-Wirtinger inequality is presented. A corresponding class where it applies is that of John-domains, for which the Poincar-Wirtinger constant is controlled. The relationship between these two kinds of assumptions is also clarified. Examples are also given.

Mots Clés: ;

Date: 2002-04-01