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Résumé: La discrétisation d'équations aux dérivées partielles par des méthodes spectrales est basée sur les propriétés d'approximation de fonctions par des polynômes. Il est prouvé théoriquement et vérifié numériquement que ces méthodes sont des méthodes d'ordre infini. Cette précision n'étant atteinte que pour des fonctions très régulières. À l'opposé, pour des fonctions discontinues, l'approximation polynomiale est mauvaise (phénomène de Gibbs). On utilise pour approcher des solutions discontinues, la méthode de viscosité spectrale évanescente qui permet de calculer une solution numérique ``spectralement proche'' de la projection de la solution exacte sur les polynômes. On peut ensuite, en post-traitement, extraire de la solution numérique l'information permettant de construire une meilleure approximation de la solution exacte. Le but de ce travail est d'analyser une méthode de post-traitement basée sur les approximants rationnels de type Padé.
Abstract: Spectral type methods for the discretization of partial differential equations rely on the approximation of the solution by polynomials of high degree. These methods are proven, both theoretically and numerically, to be of infinite order of accuracy. This infinite order is achieved if the solution is very regular. In opposition, the Gibbs phenomenon prevents --- a priori --- the good convergence if the solution is discontinuous. Nevertheless, for systems of conservation laws, the spectral vanishing viscosity method leads to numerical solution that are ``spectrally '' close to the projection of the exact solution on the set of polynomials. The idea is then to postprocess the numerical solution in order to extract pertinent physical information. The aim of this paper is to propose and analyse such a postprocessing method based on rational approximants that allows to circumvent the Gibbs phenomenon and can be used as an acceleration device for spectral numerical solution.
Mots Clés: ;
Date: 2001-11-01