Multiple boundary blow-up solutions for nonlinear elliptic equations

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Résumé: Nous étudions le problème $\Delta u = \lambda f(u)$ dans $\Omega$, $ u(x)$ tend vers l'infini quand $x$ tend vers $\partial\Omega$. Ici, $\Omega$ est un domaine borné, régulier, étoilé de $\R^N$, $N \geq 1$ et $\lambda$  une constante positive. Nous nous intéressons à l'influence des changements de signe de la nonlinéarité $f$ sur le nombre de solutions du problème. Notre résultat principal indique que si
$\Omega$ est étoilé et $f$ se comporte comme $f(u) = u(u-a)(u-1)$ avec  $a>1 /2$, alors il existe $\lambda_0 >0$ tel qu'il y a une unique solution pour $\lambda<\lambda_0$ et au moins trois solutions pour $\lambda>\lambda_0$. La preuve repose sur des estimations a priori, la construction de barrières et des arguments de degré topologique.
 

Abstract:We consider the problem $\Delta u = \lambda f(u)$ in  $\Omega$, $ u(x)$ tends to $+\infty$ as $x$ approaches $\partial\Omega$. Here $\Omega$ is a bounded, star shaped, smooth domain in $\R^N$, $N \geq 1$ and $\lambda$ a positive parameter. In this paper, we are interested in analyzing the role of the {\sl sign changes} of the function $f$ in the number of solutions of this problem. Our main result states that if $\Omega$ is star-shaped and,  $f$ behaves like $f(u) = u(u-a)(u-1)$ with $a>1 /2$, then there is a $\lambda_0 >0$ such that the problem  has a unique solution for $\lambda<\lambda_0$ and at least three solutions for $\lambda>\lambda_0$. The proof is based on a priori estimates, the construction of barriers  and topological degree arguments.

Mots Clés: ;

Date: 2001-10-26