Convergence in banach spaces for finite volume approximations of non stationary linear equations

Auteur(s):

Le document est une prépublication

Code(s) de Classification MSC:

Résumé: On étudie la convergence d'une méthode de volumes finis abstraite dans un espace de Banach quelconque : une preuve de convergence est proposée pour une méthode formellement non consistante au sens des différences finies. Plusieurs exemples montrent que le cadre fonctionnel est non vide. Une application du résultat fondamental est la convergence de tous les schémas de transport TVD en 1D, avec un taux de convergence en $h^{1/2}$. On montre que la méthode de volumes finis pour l'advection linéaire en dimension deux d'espace converge dans $L^p$, $0 \leq p \leq +\infty$ : en admettant que la solution est dans $W^{1,\infty}$ et que le maillage est uniformément régulier, le taux de convergence dans $L^\infty$ est $h^{1/4 - \varepsilon}$.
 

Abstract: This work addresses a theory of convergence for finite volume methods applied to linear equations. A non consistent model problem posed in an abstract Banach space is proved to be convergent. Then various examples show that the functional framework is non empty. Convergence with a rate $h^{1/2}$ of all TVD schemes for linear advection in 1D is an application of the general result. Using duality techniques and assuming enough regularity of the solution, convergence of the upwind finite volume scheme for linear advection on a 2D triangular mesh is proved in $L^\alpha$, $1 \leq \alpha \leq +\infty$ : provided the solution is in $W^{1,\infty}$, it proves a rate of convergence $h^{1/4 - \varepsilon}$ in $L^\infty$.

Mots Clés: ;

Date: 2001-10-05