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Résumé: Cet article concerne l'étude des solutions du type fronts progressifs pulsatoires pour des équations d'advection-diffusion-réaction dans une classe générale de domaines périodiques avec des coefficients d'advection et de diffusion périodiques. Ces fronts se propagent dans une direction arbitraire avec une certaine vitesse effective (inconnue). La notion de fronts progressifs pulsatoires généralise celle de fronts progressifs dans les flots uniformes le long de la direction de propagation (écoulements plans ou parallèles). Divers résultats d'existence, d'unicité et de monotonie sont établis pour deux classes de termes de réaction. La première est celle des non-linéarités de type combustion; on prouve que les fronts progressifs pulsatoires existent, que leur vitesse est unique et que ces fronts sont strictement croissants par rapport au temps et uniques à translation en temps près. Nous envisageons également les non-linéarités de type monostable intervenant aussi bien en combustion qu'en biologie. On prouve que l'ensemble des vitesses solutions est alors une demi-droite fermée bornée inférieurement et que pour chaque vitesse possible, il existe un front progressif pulsatoire croissant en temps. Ce dernier résultat étend le cas classique Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov. Notre étude couvre en particulier le cas des flots dans tout l'espace avec des advections périodiques telles que les flots parallèles ou un réseau périodique de cellules vorticales. Ces résultats sont également obtenus pour des cylindres à bords périodiques ou des domaines avec trous périodiques.
Abstract: This paper is devoted to the study of pulsating travelling fronts for reaction-diffusion-advection equations in a general class of periodic domains with underlying periodic diffusion and velocity fields. Such fronts move in some arbitrarily given direction with an unknown effective speed. The notion of pulsating travelling fronts gen ralizes that of travelling fronts for planar or shear flows. Various existence, uniqueness and monotonicity results are proved for two classes of reaction terms. Firstly, for a combustion-type nonlinearity, it is proved that the pulsating travelling front exists and that its speed is unique. Moreover, the front is increasing with respect to the time variable and unique up to translation in time. We also consider one class of monostable nonlinearity which arises either in combustion or biological models. Then, the set of possible speeds is a semi-infinite interval, closed and bounded from below. For each possible speed, there exists a pulsating travelling front which is increasing in time. This result extends the classical Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov case. Our study covers in particular the case of flows in all of space with periodic advections such as periodic shear flows or a periodic array of vortical cells. These results are also obtained for cylinders with oscillating boundaries or domains with a periodic array of holes.
Mots Clés: ;
Date: 2001-05-01