Limiting embedding theorems for $W^{s,p}$ when $s \uparrow 1$ and applications

Auteur(s):

Le document est une prépublication

Code(s) de Classification MSC:

Résumé: On établit une inégalité de Sobolev $W^{s,p} \subset L^q$ lorsque $s < 1$ et on analyse le comportement des meilleures constantes lorsque $s \to 1$. On en déduit l'inégalité $$|A| \; |^cA| \leq \left(C \varepsilon \int_A \int_{^cA} {dx \, dy \over |x - y|^{d+1-\varepsilon}}\right)^{d/(d-1+\varepsilon)}$$ valable pour tout ensemble mesurable $A \subset Q \subset R^d$ où $Q$ est le cube unité.

Abstract: We establish a Sobolev inequality $W^{s,p} \subset L^q$ when $s < 1$ and analyze the behaviour of the best constant as $s \to 1$. We deduce the inequality $$|A| \; |^cA| \leq \left(C \varepsilon \int_A \int_{^cA} {dx \, dy \over |x - y|^{d+1-\varepsilon}}\right)^{d/(d-1+\varepsilon)}$$ for arbitrary measurable sets $A \subset Q \subset R^d$ where $Q$ is the unit cube

Mots Clés: ;

Date: 2001-03-27