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Résumé: Nous discrétisons un problème
de Navier-Stokes tri-dimensionnel, incompressible et stationnaire
dans un polyèdre, par des méthodes d'éléments
finis définies sur deux grilles. Dans une première
étape, le problème non linéaire est résolu
sur un maillage grossier, de pas $H$. Dans une deuxième
étape, on linéarise le problème en substituant
dans le terme de convection non linéaire, la vitesse ${\bf
u}_H$ calculée à la première étape,
et le problème linéarisé est résolu
sur une grille fine de pas $h$. La motivation de cette démarche
est que la contribution de ${\bf u}_H$ à l'analyse d'erreur
est mesurée dans la norme de $L^3$ ; donc, pour les éléments
de plus bas degré dans un polyèdre Lipschitzien,
elle est de l'ordre de $H^{3/2}$. Par conséquent, on peut
récupérer une erreur de l'ordre de $h$ lors de
la deuxième étape, pourvu que $h = H^{3/2}$. Lorsque
le domaine est convexe, on peut trouver un résultat semblable
avec $h = H^2$. Ces deux résultats sont valables en dimension
deux.
Abstract: We discretize a steady Navier-Stokes system
on a three-dimensional polyhedron by finite-elements schemes
defined on two grids. In the first step, the fully nonlinear
problem is solved on a coarse grid, with mesh-size $H$. In the
second step, the problem is linearized by substituting into the
nonlinear term, the velocity ${\bf u}_H$ computed at step one,
and the linearized problem is solved on a fine grid with mesh-size
$h$. This approach is motivated by the fact that the contribution
of ${\bf u}_H$ to the error analysis is measured in the $L^3$
norm, and thus, for the lowest-degree elements on a Lipschitz
polyhedron, is of the order of $H^{3/2}$. Hence, an error of
the order of $h$ can be recovered at the second step, provided
$h = H^{3/2}$. When the domain is convex, a similar result can
be obtained with $h = H^2$. Both results are valid in two dimensions.
Mots Clés:
Date: 2001-02-05