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Résumé: On présente dans ce papier
la définition de bornes a posteriori sur des sorties calculées
a partir de l'approximation de problèmes non coercifs
par des méthodes de base réduite. La méthode
repose sur (i) un espace réduit enrichi comprenant non
seulement les solutions des problèmes primal et dual mais
aussi les minimiseurs des conditions inf-sup associées
aux formes bilinéaires, (ii) une méthode {\sl soit}
de Galerkin {\sl ou} --- plus stable --- de résidu minimum,
(iii) un estimateur d'erreur portant sur la sortie construit
à partir des normes duales des résidus des problèmes
primaux et duaux et d'une approximation du paramètre de
la condition inf-sup. Les calculs nécessaires sont effectués
par une approche en boite noire qui exploite la nature particulière
(affine) de l'opérateur en ses paramètres : la
complexité des calculs en ligne ne dépend alors
que de la dimension de l'espace réduit et de la dépendance
du problème en ses paramètres. Pour la formulation
par résidu minimum, on peut démontrer l'optimalité
de l'approximation de la sortie ainsi que l'optimalité
et les propriétés de borne asymptotique de l'estimateur
d'erreur. Grâce à ce dernier, un nombre minimal
de modes peut être ainsi sélectionné de façon
fiable. Des illustrations numériques sur le problème
de Helmoltz sont aussi présentées.
Abstract: We present a reduced-basis output bound method
for noncoercive linear problems and linear output functionals.
The method is based upon (i) an enriched reduced basis comprising
not only primal and dual solutions but also infimizers of the
inf-sup condition associated with the bilinear form, (ii) {\sl
either} a Galerkin {\sl or} a (more stable) two-space minimum-residual
discretization, and (iii) an output error estimator formed from
the dual norms of the primal and dual residuals and an approximation
to the inf-sup parameter. The necessary calculations are effected
by a blackbox superposition approach which exploits special (affine)
parametric structure in the underlying operator: the operation
count for the ``on-line" stage of the computational procedure
depends only on the dimension of the reduced-basis space and
the complexity of the parametric representation. For the minimum-residual
formulation we can prove the optimality of the output approximation
as well as the optimality and asymptotic bounding property of
the output error estimator; thanks to the latter, only a minimal
number of modes may be {\sl (safely)} retained. Numerical results
are presented for a particular application: the Helmholtz equation.
Mots Clés:
Date: 2001-02-05