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Résumé: On s'intéresse ici à
des résultats d'existence locale ou globale pour les fluides
visqueux et faiblement compressibles avec des données initiales
vérifiant des hypothèses de régularité
aussi faibles que possible. Dans [6] et [7], on a prouvé
que le système correspondant était bien posé
dans des espaces très proches de ceux utilisés par
H. Fujita et T. Kato pour le cas incompressible. Dans cet article,
on étudie la convergence vers le modèle incompressible
(pour des données initiales mal préparées)
lorsque le nombre de Mach tend vers 0. Lorsque les données
initiales sont petites, on montre un résultat d'existence
d'une solution et de convergence globale en temps. Pour des données
initiales légèrement plus régulières
mais sans restriction de taille, on montre que la solution légèrement
compressible existe aussi longtemps que la solution incompressible
correspondante. En particulier, dans le cas de la dimension 2,
on obtient l'existence et l'unicité de solutions globales
pour les fluides faiblement compressibles.
Abstract: We are concerned with the existence and uniqueness
of local or global solutions for slightly compressible viscous
fluids with minimal regularity assumptions on the initial data.
We restrict ourselves to the whole space case. In [6] and [7],
we proved local and global well-posedness results for initial
data in critical spaces very close to the ones used by H. Fujita
and T. Kato for incompressible flows. In the present paper, we
address the question of convergence to the incompressible model
(for ill-prepared initial data) when the Mach number goes to zero.
For large initial data and a bit of additional regularity, the
slightly compressible solution is shown to exist as long as the
corresponding incompressible solution does. As a corollary, we
get global existence (and uniquess) for slightly compressible
two-dimensional fluids.
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Date: 2001-02-05
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