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Résumé: Dans ce papier, nous étudions
les équations de Ginzburg-Landau pour un domaine bidimensionnel
de petite taille. Nous prouvons que si le domaine est petit, alors
les solutions n'ont pas de zero, i.e. pas de vortex. Plus précisément,
nous montrons que le paramètre d'ordre $\Psi$ est presque
constant. De plus, nous obtenons que si le domaine est un disque
de rayon assez petit, alors toute solution non triviale est unique
et symétrique. Puis dans le cas du film mince, nous utilisons
la même méthode pour prouver que les solutions sont
symétriques. Les preuves s'appuient sur des estimations
a priori et l'inégalité de Poincaré.
Abstract: In this paper, we study the Ginzburg-Landau equations
for a two-dimensional domain which has small size. We prove that
if the domain is small, then the solution has no zero, that is
no vortex. More precisely, we show that the order parameter $\Psi$
is almost constant. Additionnally, we obtain that if the domain
is a disc of small radius, then any non normal solution is symmetric
and unique. Then, in the case of a slab, that is a one dimensional
domain, we use the same method to derive that solutions are symmetric.
The proofs use a priori estimates and the Poincaré inequality.
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Date: 2001-02-05