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Résumé: On considère le système
différentiel non linéaire dans $\R^2$ $$\left\{\eqalign{
&u'(t) + ku(t)(u(t)^2 + v(t)^2) - \lambda u(t) = h_1(t)\cr
&v'(t) + kv(t)(u(t)^2 + v(t)^2) - \lambda v(t) = h_2(t).\cr
}\right.$$ On étudie la stabilité des solutions
anti-périodiques de ce système, en appliquant les
critères de Liapounov et de Bellman sur la stabilité
et l'instabilité. Pour cela, on généralise
un résultat de Liapounov pour l'étude de la stabilité
dans les EDO autonomes non linéaires au cas des systèmes
différentiels de la forme $u' = F(t,u)$ dans un espace
de Hilbert de dimension finie. D'autre part, on généralise
un résultat d'instabilité de R. Bellman dans les
EDO autonomes non linéaires au cas où $L$ l'opérateur
linéarisé de $F$ dépend du temps de façon
périodique.
Abstract: We consider the nonlinear differential system
in $\R^2$ $$\left\{\eqalign{ &u'(t) + ku(t)(u(t)^2 + v(t)^2)
- \lambda u(t) = h_1(t)\cr &v'(t) + kv(t)(u(t)^2 + v(t)^2)
- \lambda v(t) = h_2(t).\cr }\right.$$ In order to study the stability
of anti-periodic solutions of this system, a result of Liapounov
in the stability theory of autonomous nonlinear ODE is enlarged
to differential systems of the form $u' = F(t,u)$ in the Hilbert
space framework with finite dimension. On the other hand, a result
of R. Bellman in the instability theory of autonomous nonlinear
ODE is enlarged to differential systems where $L$, the linearized
operator for $F$, is a nonautonomous periodic operator.
Mots Clés:
Date: 2001-02-05