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Résumé:
On établit par une nouvelle approche fonctionnelle
l'équivalence entre la nul-contrôlabilité d'un état initial donné
et une propriété d'observabilité individuelle faisant intervenir un
moment qui dépend de cet état. Par exemple pour le problème de
contrôle abstrait du second ordre $y'' + Ay = B h(t)$ au temps T par un
contrôle $ h\in L^2 (0, T, H)$ avec $B
\in {\cal{L}}(H),\quad B = B^*\geq 0$, une condition nécessaire et
suffisante de
nul-contrôlabilité de
$[y^{0}, y^1]\in D(A^{1/2}\times H)
$ est que
$[y^{1}, -y^0]$ soit dans le dual du séparé-complété de l'espace
d'énergie pour une certaine
semi-norme. Une propriété analogue est établie pour une classe géné
rale d'équations du premier ordre contenant l'équation de transport
et celle de Schrodinger. Lorsque $A$ est à résolvante compacte la
condition nécessaire et suffisante s'exprime au moyen des composantes de
Fourier de l'état initial dans une base d'``états propres'' liée
à la diagonalisation de la forme quadratique mesurant le degré
d'observabilité du système sous l'opérateur
$B$.
.
Abstract:
A new functional approach is devised to establish an
equivalence between the null-controllability of a given initial state and a
certain individual observability property involving a momentum depending on the
state. For instance if one considers the abstract second order control
problem $ y'' + Ay = B h(t)$ in time T
by means of a control function $ h\in L^2 (0, T, H)$ with $B \in
{\cal{L}}(H),\quad B = B^*\geq 0
$ , a necessary and sufficient condition for null-controllability of a given
state $[y^{0}, y^1]\in D(A^{1/2}\times H) $ is that the image of $[y^{0},
y^1]$ under the symplectic map lies in the dual space of the completion of the
energy space with respect to a certain semi-norm. A similar property
is derived for a general class of first order systems including
the transport equation and Schr{\"o}dinger equations. When $A$ has compact
resolvant the necessary and sufficient condition can be formulated by some
conditions on the Fourier components of the initial state in a
basis of ``eigenstates'' related to diagonalization of the
quadratic form measuring the observability degree of the system under $B$.}
Mots Clés: ;
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