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Résumé:
Nous décrivons un algorithme d'approximation du minimiseur d'une
fonctionnelle elliptique de la forme $\int_\Omega j(x, u, \nabla u)$ sur
l'ensemble
${\cal C}$ des fonctions {convexes} dans un espace fonctionnel~$X$
approprié. De tels problèmes interviennent par exemple en économie
mathématique. Un cas
particulier fournit l'enveloppe convexe $u_0^{**}$ d'une fonction
donnée $u_0$.
Soit $(T_n)$ une suite de maillages quasi-uniformes dont le diamètre
tend vers zéro, et $I_n$ les opérateurs d'interpolation
correspondants. Nous démontrons que le minimiseur sur ${\cal C}$ est la
limite de la suite
des minimiseurs sur $I_n({\cal C})$.
Nous donnons une caractérisation implémentable de $I_n({\cal
C})$. Ainsi le
problème en dimension finie se réduit à un problème de
minimisation sous contraintes affines.
.
Abstract:
We describe an algorithm to approximate the minimizer of an
elliptic functional in the form $\int_\Omega j(x, u, \nabla u)$ on the
set ${\cal C}$ of {convex} functions $u$ within an appropriate
functional space $X$.
Such problems arise for instance in mathematical economics. A special case
gives the convex envelope $u_0^{**}$ of a given function $u_0$.
Let $(T_n)$ be any quasiuniform sequence of meshes whose diameter goes to
zero, and $I_n$ the corresponding affine interpolation operators.
We prove that the minimizer over ${\cal C}$
is the limit of the sequence
$(u_n)$, where
$u_n$ minimizes the functional over $I_n({\cal C})$.
We give an implementable characterization of $I_n({\cal C})$. Then the finite
dimensional problem turns out to be a minimization problem with
linear constraints.
Mots Clés: ;
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