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Résumé:
Soit
$\Omega_\varepsilon$ un domaine perforé par des trous répartis avec la
périodicité $\varepsilon$
et de taille $\varepsilon$. Il est bien connu que si $u_\varepsilon$ est
solution du problème
$-\varepsilon^2\Delta u_\varepsilon=f$ avec une condition de Dirichlet sur
$\partial\Omega_\varepsilon$, alors, lorsque
$\varepsilon\to 0$, la suite
$ (u_\varepsilon)$ converge faiblement dans
$L^2(\Omega)$ vers $fw$, o{\`u} $w$ est la valeur moyenne sur la cellule de
référence de la solution
périodique $z$ de
$-\Delta z=1$ qui s'annule sur le trou de référence. De plus, on a une
estimation d'erreur.
Ici, nous considérons des problèmes de Dirichlet avec opérateurs
monotones et homogènes
et nous introduisons une large classe de domaines perforés pour
lesquels on a le m{\^e}me type de
résultats. Deux hypothèses principales sont faites. La première
consiste à supposer que la
constante de l'inégalité de Poincaré dans $
W_0^{1,p}(\Omega_\varepsilon)$ est d'ordre
$\varepsilon$. La seconde suppose l'existence d'une famille convenable de
fonctions tests qui valent
zéro sur les trous (mais non nécessairement sur
$\partial\Omega$). Les résultats obtenus s'appliquent, par exemple, à
des domaines doublement
périodiquement perforés et à des domaines périodiquement perforés
dont les trous approchent
des ensembles du type ``flocons de neige''.
.
Abstract:
Let
$\Omega_\varepsilon$ be a domain perforated by $\varepsilon$-periodic holes of
size $\varepsilon$. It is known that if $u_\varepsilon$ is the solution of
$-\varepsilon^2\Delta u_\varepsilon=f$ with a Dirichlet condition on
$\partial\Omega_\varepsilon$, then, as
$\varepsilon\to 0$,
$ (u_\varepsilon)$ weakly converges in
$L^2(\Omega)$ to $fw$, where $w$ is the mean value on the reference cell
of the periodic solution
$z$ of $-\Delta z=1$ which vanishes on the reference hole. Moreover, an
error estimate holds.
Here we consider Dirichlet problems with homogeneous monotone
operators and we introduce a large
class of perforated domains for which the same kind of results holds.
We make two main
assumptions. The first one is that the Poincaré's constant in $
W_0^{1,p}(\Omega_\varepsilon)$ is
of order
$\varepsilon$. The second one is that there exists a suitable family of
test functions, which are zero
on the holes (but not necessarily on
$\partial\Omega$). Our results apply, for instance, to holes with a
double periodicity and to
periodic holes approaching a snowflake.
Mots Clés: ;
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