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Résumé:
Nous étudions le problème de résistance minimale proposé dans [2], section 5 :
minimiser $F(u) := \int_\Omega dx/(1 + |\nabla u(x)|^2)$, où $\Omega$
est le disque
unité de $\R^2$, dans la classe des fonctions à symétrie radiale $u : \Omega
\rightarrow [0,M]$ satisfaisant une propriété géométrique, correspondant à une
contrainte de choc unique et élastique ($M > 0$ est un paramètre donné). Nous
montrons l'existence d'une valeur critique de $M$ au-delà de laquelle
il existe un
unique minimiseur local de la fonctionnelle, et en deçà de laquelle
l'ensemble des
minimiseurs locaux n'est pas compact dans $H^1$, bien que ceux-ci
donnent la même
valeur pour la fonctionnelle.
.
Abstract:
We consider the problem of the body of minimal resistance as
formulated in [2],
section 5: minimize $F(u) := \int_\Omega dx/(1 + |\nabla u(x)|^2)$,
where $\Omega$ is
the unit disc of $\R^2$, in the class of radial functions $u : \Omega
\rightarrow [0,M]$ satisfying a geometrical property, corresponding to a
single-impact assumption ($M > 0$ is a given parameter). We prove the
existence of a
critical value $M^\star$ of $M$. For $M \geq M^\star$, there exist a
unique local
minimizer of the functional. For $M < M^\star$, the set of local
minimizers is not
compact in $H^1$, though they all achieve the same value of the functional.
Mots Clés: ;
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