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Résumé:
On introduit un système dynamique de $2N$ particules évoluant
dans l'espace euclidien selon une caricature d'interaction coulombienne.
Les $N$ premières particules appelées « ions
» sont immobiles. Les $N$ autres sont appelées «
électrons » à chaque instant, les ions et
les électrons sont appariés et un « ressort
» relie chaque paire de sorte que chaque électron
oscille à la fréquence $\varepsilon^{-1}$. Le point
crucial est que l'appariement des électrons et des ions
est actualisé à chaque instant discret $n\tau$,
$n = 0,1,2,...$, de sorte que l'énergie potentielle totale
du système reste minimale. Ceci donne une interaction non
triviale qui se trouve être une caricature d'interaction
coulombienne. On prouve qu'à condition que les $N$ ions
soient répartis également dans un domaine borné
$D$ et que les paramètres $\varepsilon$, $\tau$ et $N^{-1}$
tendent vers zéro à des vitesses appropriées,
les électrons se comportent comme les particules fluides
d'un liquide incompressible non visqueux se mouvant à l'intérieur
de $D$ selon les équations d'Euler. La preuve repose sur
un résultat de P. Lax sur l'approximation d'applications
conservant le volume par des permutations.
Abstract: A caricature of collisionless plasma involving
$2N$ particles of opposite charge is introduced. The first $N$
particles are called ``ions'' and do not move. The other $N$ particules
are called ``electrons''. At each time, there is a one-to-one
matching between electrons and ions and each pair is linked by
a ``spring'' so that each electron oscillates with fixed frequency
$\varepsilon^{-1}$. The essential point is that the matching between
electrons and ions is updated at every discrete time $n\tau$,
$n = 0,1,2,...$, so that the total potential energy of the system
stays minimal. This leads to a nontrivial interaction which turns
out to be a caricature of Coulomb interaction. It is proved that,
provided the $N$ ions are equally spaced in a bounded domain $D$
and $\varepsilon$, $\tau$ and $N^{-1}$ tend to zero at appropriate
rates, the electrons behave as the fluid particles of an incompressible
inviscid liquid moving inside $D$ according to the Euler equations.
Our proof relies on a result of P. Lax on the approximation of
volume-preserving transformations by permutations.
Mots Clés: ;
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