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Résumé:
Dans cet article nous considérons une suite de problèmes
paraboliques linéaires dont les coefficients dépendent
du temps $\partial_t u^\varepsilon - \hbox{div}(A^\varepsilon(t,x)\,\nabla
u^\varepsilon) =f$ dans ${\cal D}'(Q)$, $u^\varepsilon \!\in \!
L^2(0,T;H^1_0(\Omega)) \cap H^1(0,T;H^-1}(\Omega))$, $u^\varepsilon
\Big|_{t=0}= a$. Quand la suite de matrices $\{A^\varepsilon(x,t)\}$
$H$-converge, nous démontrons qu'il existe une matrice
$p^\varepsilon$ à coefficients dans $L^2(Q)$ telle que
$\nabla u^\varepsilon - p^\varepsilon \nabla u^0 \rightarrow 0$
fortement dans $L^1(Q;\R^N)$, c'est-à-dire un résultat
de correcteur pour le gradient en espace. Nous démontrons
aussi un résultat de correcteur pour la dérivée
temporelle $\partial_t u^\varepsilon$.
Abstract: In this paper we consider a sequence of linear
parabolic problems with coefficients which may depend on time,
namely $\partial_t u^\varepsilon - \hbox{div}(A^\varepsilon(t,x)\,\nabla
u^\varepsilon) =f$ in ${\cal D}'(Q)$, $u^\varepsilon \in L^2(0,T;H^1_0(\Omega))
\cap H^1(0,T;H^{-1}(\Omega))$, $u^\varepsilon \Big|_{t=0}= a$.
Assuming that the sequence of matrices $\{A^\varepsilon(x,t)\}$
$H$-converges, we prove that there exists a matrix $p^\varepsilon$
with entries in $L^2(Q)$ such that $\nabla u^\varepsilon - p^\varepsilon
\nabla u^0 \rightarrow 0$ strongly in $L^1(Q;\R^N)$. This is a
corrector result for the spatial gradient. We also prove a corrector
result for the time derivative $\partial_t u^\varepsilon$.
Mots Clés: ;
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