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Résumé:
Cet article traite de propriétés de symétrie
monodimensionnelle de solutions entières et bornées
d'équations du type $\Delta u + f(u) = 0$ dans $\R^n$.
Nous considérons des solutions $u$ telles que $- 1 <
u < 1$ et $u(x_1,...,x_n) \rightarrow \pm 1$, quand $x_n \rightarrow
\pm \infty$, uniformément par rapport aux variables $x_1,...,x_{n-1}$.
Sous certaines conditions sur $f$, nous prouvons que les solutions
ne dépendent que de la variable $x_n$. Nous considérons
aussi le cas d'opérateurs elliptiques plus généraux.
Les propriétés qualitatives obtenues dépendent
alors fortement des coefficients de l'opérateur. Ces résultats
étendent aux dimensions supérieures et à
des opérateurs plus généraux un résultat
de Ghoussoub et Gui prouvé pour $n \leq 3$.
Abstract: This paper is about one-dimensional symmetry
properties for some entire, bounded solutions of $\Delta u + f(u)
= 0$ in $\R^n$. We consider solutions $u$ such that $- 1 <
u < 1$ and $u(x_1,...,x_n) \rightarrow \pm 1$, as $x_n \rightarrow
\pm \infty$, uniformly with respect to $x_1,...,x_{n-1}$. Under
some conditions on $f$, we prove that the solutions only depend
on the variable $x_n$. We also discuss more general elliptic operators.
The qualitative properties then strongly depend on the coefficients
of the operator. These results extend to higher dimensions and
to more general operators a result of Ghoussoub and Gui proved
for $n \leq 3$.
Mots Clés: ;
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