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Résumé:
On étudie quelques problèmes elliptiques fondamentaux
dans le demi-espace. Les espaces de Sobolev avec poids sont utilisés
pour décrire le comportement à l'infini des fonctions.
On expose dans un premier temps une classe de résultats
d'existence, d'unicité et de régularité pour
l'équation de Laplace $\Delta u = f$, avec des conditions
aux limites de type Dirichlet ou Neumann inhomogènes. Dans
un deuxième temps on traite les problèmes reliés
aux opérateurs grad, div et rot et plus particulièrement
les systèmes div-rot de la forme {\bf rot w} = {\bf u},
div {\bf w} = 0, et donc les questions reliées au potentiel
vecteur et la décomposition d'Helmoltz.
Abstract: We study some fundamental elliptic problems in
the half-space. The behavior of solutions at infinity is described
by using weighted Sobolev spaces. In a first step, we deal with
the Laplace equation $\Delta u = f$, with inhomogeneous Dirichlet
and Neumann boundary conditions. A class of existence, uniqueness
and regularity results is obtained. In a second step, we investigate
some properties of the grad, div and curl operators in order to
treat curl-div systems of the form {\bf rot w} = {\bf u}, div
{\bf w} = 0, and problems related to vector potentials and the
Helmoltz decomposition.
Mots Clés: ;
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