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Résumé:
Dans cet article on étudie le comportement asymptotique
du spectre du problème de Neumann $- \Delta v_\varepsilon
= \lambda(\varepsilon)v_\varepsilon$, dans un domaine périodique
« faiblement connecté » $\Omega_\varepsilon$
de $\R^3$. Ce domaine est composé d'un nombre fini d'ouverts
deux à deux disjoints et reliés par des ponts très
fins (plaques ou tubes). Sous certaines hypothèses portant
sur les dimensions caractéristiques de ces ponts, on donne
un équivalent asymptotique des premières valeurs
propres qui tendent vers 0 et on montre que le reste du spectre
converge vers celui d'un système elliptique.
Abstract: This article deals with the convergence, as $\varepsilon$
tends to zero, of the spectrum of the Neumann problem $- \Delta
v_\varepsilon = \lambda(\varepsilon)v_\varepsilon$ in a ``weakly
connected'' periodic domain $\Omega_\varepsilon$ of $\R^3$. The
domain $\Omega_\varepsilon$ is composed of a finite number of
disjoint connected domains liked by thin bridges (plates or tubes).
Under a few assumptions on the characteristic sizes of these bridges,
we give an explicit asymptotic formula for the eigenvalues which
tend to zero and we prove that the rest of the spectrum converges
to the spectrum of an elliptic coupled system.
Mots Clés: ;
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