APPLICATION DE L'INTERPOLATION TRANSFINIE À LA CRÉATION DE MAILLAGES $C^0$ ou $G^1$-CONTINUS SUR DES TRIANGLES, QUADRANGLES, TÉTRAÈDRES, PENTAÈDRES ET HEXAÈDRES DÉFORMÉS

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Résumé: En 1973, Gordon, Hall définissent l'interpolation transfinie sur le rectangle
et le parallélipipède rectangle. En 1974, Cook l'utilise pour construire des
quadrangulations continues de quadrangles déformés et hexaédrisations
continues d'hexaèdres déformés. Farin indique la possibilité de définir une
représentation géométrique d'un objet à condition de découper cet objet en quadrangles ou
hexaèdres pour servir de carreaux tout comme les carreaux de Bézier ou les
carreaux B-splines. En 1998, je définis l'interpolation transfinie pour un
triangle, un tétraèdre et un pentaèdre, ce qui complète la panoplie des carreaux transfinis. En
suivant la méthode de Cook, la construction d'un maillage structuré en découle
immédiatement. Il est ainsi possible de définir la géométrie d'un objet à
partir de courbes ou de surfaces paramétrées quelconques, mais cela conduit à une grande
variété de cas possibles et une informatique résultante compliquée. Pour
simplifier, il est possible de décider que chacune des 3 composantes des courbes soient des
polynômes de degré 1 par morceaux. Il en découle des maillages structurés,
$C^0$-continus, très facilement stockables puisque la seule donnée du
nombre d'arêtes sur chaque courbe et des 3 coordonnées des arêtes des courbes est
suffisante. De plus, chaque élément (triangle, quadrangle, ... ) du maillage est décrit de fa\c
con autonome sans avoir à tenir à jour l'histoire de sa construction puisque les 3
coordonnées de ses sommets suffisent à le décrire complètement. L'objet est décrit par une
simple liste d'éléments "droits". Deux questions viennent alors : Est-il possible de
faire mieux en construisant
1) des maillages non structurés pour mieux représenter des
surfaces bien déformées ou adapter le maillage aux gradients de la solution d'un
problème physique,
2) des maillages continus de classe $G^1$, d'éléments "courbes" afin
d'obtenir une représention plus réaliste de l'objet, mais en conservant la description
autonome des éléments du maillage ?
Dans les deux cas, la réponse est positive et la description d'une solution
pour le triangle et le quadrangle fait l'objet des différents paragraphes de cet article.
L'emploi de mailleurs non structurés sur l'élément de référence, de polynômes de
degré 3, de l'interpolation d'Hermite et d'éléments finis réduits de Hsieh, Clough et
Tocher et de Veubeke, Sander s'avèrent nécessaires.
Une remarque supplémentaire montre que l'interpolation transfinie permet de
prendre en compte exactement une condition de Dirichlet dans la méthode des
éléments finis.


Abstract: In 1973, Gordon, Hall define the transfinite interpolation on the rectangle
and the hexahedron. In 1974, Cook uses it to construct $C^0$-continuous
quadrangulations of deformed quadrangles and $C^0$-continuous
hexahedrizations of bended hexahedra. Farin indicates the possibility of defining a geometrical
representation of an object by splitting it into quadrangles or hexahedra
that are used as patches as the Bezier or B-splines patches. In 1998, I define the
transfinite interpolation on a triangle, a tetrahedron and a pentahedron, which
complete the set of transfinite patches. With Cook's method, this interpolation implies a
construction of $C^0$-continuous structured meshes. Thus, it is possible to define the
geometry of an object from the parametrization of curves and surfaces, but this
leads to a wide variety of possibilities and costly storage and
programming. In order to simplify things, it is possible to reduce the cases to one: the
representation of each component of each curve as a piecewise polynomial function of degree one.
Very simple storage of these $C^0$-continuous structured meshes is possible because the
data of the three coordinates of the vertices and the number of edges of each curves
are sufficient. Moreover, each mesh element is described in an autonomous way--the three
coordinates of the element vertices--without the necessity of storing the history of
the construction of the edges. The object is defined from a set of ``straight'' elements.
Two questions can be asked: Is it possible to ameliorate this solution by constructing
1) unstructured meshes in order to represent very bended surfaces or to
adapt themesh to the gradient of the solution of a physical problem,
2) $G^1$-continuous meshes formed from bended elements to obtain a more
realistic representation of the object, but retaining the autonomy of the elements
of the mesh?
In both cases, the response is positive and the description of such
solution is developed in
this paper. The use of unstructured mesh generators on the reference
element, polynomial functions of degree 3, Hermite's interpolation, the reduced Hsieh, Clough,
Tocher and de Veubeke, Sander finite elements will be necessary.
A further remark shows that transfinite interpolation makes it possible to exactly take in
account Dirichlet conditions in the finite element method.

Mots Clés: maillage, éléments finis

Date: 1994-01-01