### THE OSCILLATION PATTERN OF SOLUTIONS TO PARABOLIC EQUATIONS AS TIME GOES TO INFINITY

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• 35A05 General existence and uniqueness theorems

Résumé: On considère l'équation parabolique
$u_t - \Delta u + f(u) = 0$ dans $\R^+\times\Omega; u= 0$
sur $\R^+\times \partial \Omega$ où $\Omega$ est
un domaine connexe borné de $\R^N$ avec une frontière
Lipschitzienne et $f : \R \rightarrow \R$ est localement
Lipschitzienne. Si $u$ est une solution bornée dont
l'ensemble $\omega$-limite est tel que $\forall \varphi \in \omega(u), \forall x\in \varphi^{-1}(0), (\nabla \varphi)(x) \not = 0$,
le nombre de composantes connexes de $\{x\in \Omega; \varphi(x)\not= 0\})$ est égal à une constante $n_{\infty}$ sur
$\omega(u)$ et il existe $T>0$ tel que pour tout $t\geq T$, l'ensemble $\{x\in \Omega; u(t, x)\not= 0\}$ a un nombre fini de composantes connexes
précisément égal à $n_{\infty}$.

Abstract: We consider the semilinear parabolic equation
$u_t - \Delta u + f(u) = 0$ in $\R^+\times\Omega; u= 0$
on $\R^+\times \partial \Omega$, where $\Omega$ be a bounded, connected
open subset of $\R^N$ with a Lipschitz continuous boundary and
$f : \R\rightarrow \R$ is a locally Lipschitz continuous function.
If $u$ is a bounded solution for which the $\omega$-limit set
satisfies $\forall \varphi \in \omega(u), \forall x\in \varphi^{-1}(0), (\nabla \varphi)(x) \not = 0$, the number of connected components of $\{x\in \Omega; \varphi(x)\not= 0\})$ is equal to a constant $n_{\infty}$ on $\omega(u)$ and there exists $T>0$
such that for all $t\geq T$, the set $\{x\in \Omega; u(t, x)\not= 0\}$ has a
finite number of connected components precisely equal to $n_{\infty}$.

Mots Clés: équations aux dérivées partielles

Date: 1994-01-01