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Résumé: l'analyse d'algorithmes adaptatifs utilisant les bases d'ondelettes
pour la résolution numérique des équations elliptiques.
Ces algorithmes approchent la solution $u$ par une combinaison
de $N$ ondelettes, et il est par conséquent naturel de
les comparer à la meilleure approximation de la solution exacte
par $N$ ondelettes qui serait obtenue en gardant ses $N$ plus
grands coefficients (si ceux-ci étaient connus).
Le résultat principal est la construction d'un algorithme
adaptatif qui produit une approximation de $u$ en $O(N^{-s})$
dans la norme d'énergie, dès lors que ce taux de décroissance est
réalisé par la meilleure approximation. Les valeurs de $s > 0$
sont limitées par les propriétés des ondelettes
(approximation et compression de la matrice de rigidité).
De plus, nous montrons que le coût calculatoire reste proportionnel
à $N$. L'algorithme s'applique à une classe générale de problèmes
elliptiques et d'ondelettes. Notre analyse fait apparaître de nouvelles
techniques pour traiter les problèmes elliptiques et les systèmes linéaires qui découlent d'une
discrétisation en ondelettes.
Abstract: This article is concerned with the construction and analysis
of wavelet-based adaptive algorithms for the numerical solution of elliptic
equations. These algorithms approximate the solution
$u$ of the equation by a linear combination of
$N$ wavelets. Therefore, a benchmark for their performance is provided by
the rate of best approximation to $u$ by an arbitrary linear combination of $N$
wavelets (so called $N$-term approximation), which would be obtained by keeping the $N$ largest
wavelet coefficients of the real solution (which of course is unknown). The main
result of the paper is the construction of an adaptive scheme which produces an
approximation to $u$ with error $O(N^{-s})$ in the energy norm, whenever such a rate is possible by
$N$-term approximation. The range of
$s > 0$ for which this holds is only limited by the approximation
properties of the wavelets together with their ability to compress the elliptic operator.
Moreover, it is shown that the number of arithmetic operations needed to compute the
approximate solution stays proportional to $N$. The adaptive algorithm applies to a
wide class of elliptic problems and wavelet bases. The analysis in this paper puts
forward new techniques for treating elliptic problems as well as the linear systems of
equations that arise from the wavelet discretization.
Mots Clés: ondelettes
Date: 1999-01-01