NONLINEAR APPROXIMATION AND THE SPACE $BV(\R^2)$

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Résumé: Étant donnés une fonction $f\in L^2(Q)$, $Q:=[0,1)^2$ et un
nombre $t>0$, on considère
$U(f,t):=\inf_{g\in BV(Q)}\|f-g\|^2_{L^2(Q)}+t V_Q(g)$ où l'on prend
l'infimum sur toutes les fonctions à variation bornée sur $Q$. Ce type de problème
variationnel se présente dans plusieurs contextes : théorie de l'interpolation réelle,
estimation statistique, traitement numérique de l'image.
Des techniques numériques basées sur le calcul des variations
et les EDP non linéaires ont été développées
pour l'évaluation des minimiseurs de telles fonctionnelles.
Leur principal inconvénient est leur coût
en temps de calcul. Il est d'autre part connu que des
techniques plus élémentaires de seuillage dans des bases
d'ondelettes réalisent la minimisation (à une constante près)
lorsque l'espace $BV$ est remplacé par l'espace de Besov
$B^1_1(L^1(Q))$. Un tel résultat est moins évident pour l'espace $BV$
qui n'admet pas de description simple en terme des coefficients
d'ondelettes. Nous montrons dans cet article que des techniques
élémentaires de seuillage basées sur le système de Haar
produisent des minimiseurs pour $U(f,t)$. Notre analyse met en lumière
des résultats nouveaux sur l'approximation adaptative de l'espace $BV$
en dimension 2.


Abstract: Given a function $f\in L^2(Q)$, $Q:=[0,1)^2$ and a real number $t>0$, let
$U(f,t):=\inf_{g\in BV(Q)}\|f-g\|^2_{L^2(Q)}+t V_Q(g)$, where the
infimum is taken over all functions $g \in BV$ of bounded variation on $Q$.
This and related extremal problems arise in several areas of mathematics such as
interpolation of operators and statistical estimation, as well as in digital image
processing. Techniques for finding minimizers $g$ for $U(f,t)$ based on variational calculus and
nonlinear partial differential equations have been put forward by several authors. The main
disadvantage of these approaches is that they are numerically intensive. On the other
hand, it is well-known that more elementary methods based on wavelet shrinkage solve
related extremal problems, for example, the above problem with $BV$ replaced by the
Besov space $B^1_1(L_1(Q))$. However, since $BV$ has no simple description in terms of
wavelet coefficients, it is not clear that minimizers for $U(f,t)$ can be realized
in this way. We shall show in this paper that simple methods based on Haar thresholding
provide near minimizers for $U(f,t)$. Our analysis of this extremal problem brings
forward many interesting relations between Haar decompositions and the space $BV$.

Mots Clés: approximation non linéaire

Date: 1999-01-01