Unfocused blow up solutions of nonlinear parabolic equations

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Résumé: L'objet de ce papier est l'étude du comportement asymptotique à l'explosion
d'une solution radiale $u$ de l'équation parabolique non-linéaire
\begin{equation}\label{1}
\left\{
\begin{array}{l}
u_t-\Delta u=|u|^{p-1}u, \mbox{ } x\in \Omega, \; \; t\in [0,T],\\
u(t,x)=0, \mbox{ } x\in \partial\Omega, \; \; t\in [0,T],\\
u(0,x)=u_0(x), \mbox{ } x\in \Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation}
autour d'un point autre que son centre de symétrie.
On suppose que $\Omega$ est une boule de $R^N$ ou bien $\Omega=R^N$,
et $p>1$. On montre que $u$ se comporte comme s'il agissait d'un problème
uni-dimensionnel: les profils possibles au voisinage d'un point d'explosion
sont ceux correspondant au cas de la dimension $N=1$. Enfin, on étend
ces résultats aux équations avec domaines et termes
non-linéaires plus généraux.

Abstract: The aim of this paper is to study the blow up behaviour of a
radially symmetric solution $u$ of the nonlinear parabolic equation (\ref{1}),
around a blow up point other than its centre of symmetry.
We assume that $\Omega$ is a ball in $R^N$ or $\Omega=R^N$,
and $p>1$. We show that $u$ behaves as if a one-dimensional problem was concerned:
the possible blow up profiles around an unfocused blow up point
are the ones corresponding to the case of dimension $N=1$.
Finally, we extend these results to equations
with more general domains and nonlinear terms.

Mots Clés: équation parabolique; explosion en temps fini; comportement asymptotique; profil à l'explosion

Date: 1998-01-01