Auteur(s):

• G ALLAIRE
• S AUBRY

Code(s) de Classification MSC:

• 73K40 Optimization, See also {90C90}

Résumé: Le but de cet article est de démontrer quelques propriétés des
microstructures optimales utilisées dans les problèmes d'optimisation
topologique de formes où interviennent les méthodes d'homogénéisation et qui impliquent la
compliance comme critère d'optimisation. L'outil clé de l'approche par
les méthodes d'homogénéisation est de prendre des matériaux composites
microperforés comme formes admissibles. Certains auteurs utilisent des
structures périodiques à trous tandis que d'autres s'intéressent plutôt à des
microstructures optimales comme les matériaux laminés de rang 2 connus pour être
optimaux pour la borne de \HS bi-dimensionnelle. Nous prouvons, en deux
dimensions, lorsque les valeurs propres du champ des contraintes moyen sont
de signes opposés, qu'il n'existe pas de microstructure optimale
périodique. Nous démontrons aussi dans ce cas que toutes les
microstructures optimales sont dégénérées comme le matériau laminé de rang 2
c'est à dire qu'elles ne supportent pas de champ de contraintes non aligné de cisaillement.
Lorsque les valeurs propres du champ moyen de contraintes sont de mêmes
signes, nous exhibons un matériau laminé d'ordre plus élevé
optimal et non dégénéré.

Abstract: The purpose of this article is to discuss some properties of optimal
microstructure that are used in the homogenization approach for
structural optimization problems involving compliance as the design
criterion. The key ingredient for the homogenization method is to
allow for microperforated composite materials as admissible designs.
Some authors use periodic holes while others rely on optimal microstructures
such as the so-called rank-2 layered materials which achieve optimality
in the 2-D \HS bound. We prove that, in two space dimension, when the
eigenvalues of the average stress have opposite signs, there is no optimal
periodic microstructure. We also prove in this case that any optimal
microstructure is degenerate, like the rank-2 layered material, i.e.
it cannot sustain a non-aligned shear stress.
When the eigenvalues of the average stress have the same sign, we
exhibit higher order layered material that is optimal and not degenerate.

Mots Clés: :

Date: 1998-01-01