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Résumé: Dans cet article, nous étudions le
problème : \div a(x,u,Du)=H(x,u,Du)+f-\div g$ dans $\dip$,
$u\in W_0^{1,p}(\Omega)$, où $\Omega\subset\rn$, $1< p < N$, $-\div
a(x,u,Du)$ est un opérateur de Leray-Lions défini sur
$W_0^{1,p}(\Omega)$,
et $ H(x,u,Du)$ est un terme non linéaire qui a une croissance en
$|Du|^p$, et plus précisément qui satisfait :
$- c_0a(x,s,\xi)\xi\le H(x,s,\xi)$ signe$(s)\le\gamma
a(x,s,\xi)\xi,$ où $\gamma > 0$ est donné et où $c_0\ge0$. Si $\|f\|_{N/p}$ et
$\|g\|_{N/(p-1)}$ sont suffisamment petits, nous démontrons qu'il existe au moins une
solution $u$ de ce problème qui est de plus telle
que $ w= (e^{\mu|u|}-1)$ signe$(u)$ appartienne à $W_0^{1,p}(\Omega)$ pour
tout $\mu$ dans un intervalle $(0,\mu_0)$ où $\mu_0>\gamma/ (p-1)$. Le
changement de fonction inconnue $u\va w$ joue un rôle important dans la
démonstration. La condition de petitesse que nous imposons sur les
termes sources pour avoir l'existence est nécessaire, et, dans un certain
sens, elle est optimale.
Abstract: In this article, we study the problem:
$-\div a(x,u,Du)=H(x,u,Du)+f-\div g$ in $\dip$,
$u\in W_0^{1,p}(\Omega)$, where $\Omega\subset\rn$, $1< p < N$, $-\div
a(x,u,Du)$ is a Leray-Lions operator defined on $W_0^{1,p}(\Omega)$, and
$H(x,u,Du)$ is a nonlinear
term which grows like $Du|^p$, and more precisely satisfies:
$-c_0a(x,s,\xi)\xi\le H(x,s,\xi)\sign (s)\le\gamma
a(x,s,\xi)\xi$, for a given $\gamma > 0$ and some $c_0\ge0$. When
$\|f\|_{N/p}$ and $\|g\|_{N/(p-1)}$ are sufficiently small, we prove the
existence of at least one solution $u$, which is moreover such that
$w $ defined by $w = (e^{\mu |u|}-1)\sign(u)$ belongs to $W_0^{1,p}(\Omega)$
for every $\mu$ in an interval $(0,\mu_0)$ where $\mu_0>\gamma/
(p-1)$. The change of
unknown function $u\va w$ plays an important role in the proof. The
smallness condition that we impose on the source terms in order to get
existence is necessary, and is in some sense sharp.
Mots Clés: équations aux dérivées partielles
Date: 1999-01-01