MINIMISATEURS POUR UN PROBLEME A DEUX PUITS AVEC CONDITION AUX LIMITES AFFINE

Auteur(s):

Le document est une prépublication

Code(s) de Classification MSC:

Résumé: Cet article est consacré à la question de l'existence de minimisateurs
pour des fonctionnelles dont l'intégrande a deux puits de potentiel et
avec des conditions aux limites affines. De telles fonctionnelles sont
du type de celle de Kohn et Strang qui joue un rôle important en
optimisation de formes en conduction ou en élasticité. Elles sont
non quasi-convexes, et par conséquent l'existence de minimisateurs
n'est garantie, en général, que pour leur enveloppe quasi-convexe.
Nous généralisons des résultats précédents de [1]
et donnons des conditions nécessaires et
suffisantes sur les conditions aux limites affines pour avoir l'existence
de minimisateurs. Notre méthode repose sur le calcul de la
quasi-convexification de ces fonctionnelles par la théorie de
l'homogénéisation. Nous prouvons aussi, par un argument général,
que leur enveloppe rang-1 convexe coincide avec leur enveloppe quasi-convexe.

Abstract: This paper is concerned with the existence of
minimizers for functionals having a double-well integrand with affine
boundary conditions. Such functionals are related to the so-called
Kohn-Strang functional which arises in optimal shape design problems
in electrostatics or elasticity. They are known to be not
quasi-convex, and therefore existence of minimizers is, in general,
guaranteed only for their quasi-convex envelopes. We generalize
previous results in \cite{allaire.francfort} and give necessary and
sufficient conditions on the affine boundary conditions for existence
of minimizers. Our method relies on the computation of the
quasi-convexification of these functionals by using homogenization
theory. We also prove by a general argument that their rank-one
convexifications coincide with their quasi-convexifications.

Mots Clés: homogenization; quasiconvexity; rank-one convexity; calculus of variations; relaxation; optimal design.

Date: 1998-01-01