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Résumé: On considère les solutions globales de l'équation
différentielle ordinaire $ u''+ u'+f(u)=0 $ où $f$
est une fonction de classe $C^1$ telle que $f(0) = 0, f(u)>0$ pour tout $
u\not = 0, f(u) = o(\vert u\vert)\;\hbox{lorsque} \; u \rightarrow 0 $;
un cas typique est $f(u) = cu^2 $ ou plus généralement $f(u) = c\vert u
\vert ^{\alpha} $ avec $ c>0, \alpha>1.$ On établit que toute
solution globale $u$ sur $[0, +\infty)$ est bornée avec $ u'+u > 0 $ et$
\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty}\{\vert u(t)\vert
+\vert u'(t)\vert+\vert u''(t)\vert\} = 0$. De plus si $f(s)=c\vert s\vert^{\alpha} $ avec $c>0,
\alpha>1$, il existe une unique solution globale maximale négative
$u_-\in C^2(0, +\infty) $ et une unique solution globale maximale
$u_+\in C^2(0, +\infty)$ telle que $\displaystyle{\sup _ {t\in (0,
+\infty)}} u_+$ soit
maximum. L'ensemble des données initiales de trajectoires globales pour
$t\geq 0$ est le domaine fermé non borné
${\cal D}$ délimité par les trajectoires de
$ u_+$ et $u_-$ dans le plan des phases. Finalement, il est établi que mes$({\cal
D})< \infty.$
Abstract: Global solutions of the second order ODE
$ u''+ u'+f(u)=0 $ are studied where $f$
is a $C^1$ function satisfying $f(0) = 0, f(u)>0$ for all $ u\not = 0,
f(u) = o(\vert u\vert)\;\hbox{ as}
\; u \rightarrow 0 $; a typical case is $f(u) = cu^2 $ or more generally $f(u) = c\vert u
\vert ^{\alpha} $ with $ c>0, \alpha>1.$ It is shown that all global
solutions $u$ on $[0, +\infty)$ are bounded with $ u'+u > 0 $ and $
\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty}\{\vert u(t)\vert
+\vert u'(t)\vert+\vert u''(t)\vert\} = 0$. Moreover
if $f(s)=c\vert s\vert^{\alpha} $ for some $c>0,
\alpha>1$ , there exists a unique global maximal negative solution $u_-\in
C^2(0, +\infty) $ and a unique global maximal solution
$u_+\in C^2(0, +\infty)$ such that $\displaystyle{\sup _ {t\in (0,
+\infty)}} u_+$ is maximum. The set of initial data giving rise to global trajectories for
$t\geq 0$ is the unbounded closed domain ${\cal D}$ enclosed by the union of the two
trajectories of $ u_+$ and $u_-$ in the phase plane. Finally it is shown that meas$({\cal D})< \infty. $
Mots Clés: équations différentielles
Date: 1999-01-01