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Résumé: Dans ce papier, on s'intéresse au comportement asymptotique à l'explosion
de solutions positives et à symétrie
sphérique de l'equation de la chaleur semi-linéaire
\begin{equation}\label{1}
\left\{
\begin{array}{l}
u_t-\Delta u=u^p, \mbox{ } x\in \Omega, \; \; t\in [0,T],\\
u(t,x)=0, \mbox{ } x\in \partial\Omega, \; \; t\in [0,T],\\
u(0,x)=u_0(x), \mbox{ } x\in \Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation}
o{\`u} $\Omega$ est une boule de $R^N$ ou bien $\Omega=R^N$,
et $p$ est sur-critique, c'est-à-dire
\begin{equation}\label{supercriticalp}
p>\frac{N+2}{N-2} \; \mbox{ et } \; N\geq 3.
\end{equation}
On prouve qu'il existe une classe de solutions radiales positives
$u$ de (\ref{1}) qui explosent en temps fini $T_m$ avec $0$ comme
point d'explosion, et telles que l'on ait soit explosion de $u$ plus vite
que le taux d'explosion auto-similaire, soit
un profil auto-similaire
non-trivial de $u$ à $t=T_m$.
Ce résultat repose sur un théorème d'explosion totale.
(On dit qu'une solution $u$ de (\ref{1}) explose totalement après $T_m$
si $u$ ne peut {\^e}tre continuée en aucun sens après $T_m$).
Abstract: In this paper, we are interested in the blow up behavior
of nonnegative radially symmetric solutions
of the semilinear heat equation (\ref{1}),
where $\Omega$ is a ball in $R^N$ or $\Omega=R^N$,
and $p$ is supercritical, that is
(\ref{supercriticalp}) holds.
We prove that there exists a class of nonnegative radially symmetric
solutions $u$ of (\ref{1}) which blow up in finite time $T_m$ at $x=0$,
and are such that either $u$ blows up faster than the self-similar rate
or $u$ admits a nontrivial self-similar blow up pattern at $T_m$.
This result relies on a complete blow up theorem.
(We say that a solution $u$ of (\ref{1}) blows up completely after $T_m$
if $u$ can not be extended in any sense beyond $T_m$.)
Mots Clés: équation de la chaleur; explosion en temps fini; explosion totale; variables auto-similaires; comportement asymptotique; profil à l'explosion.
Date: 1998-01-01