### Entire solutions of the KPP equation

Auteur(s):

Le document est une prépublication

Code(s) de Classification MSC:

• 35A05 General existence and uniqueness theorems

Résumé: Cet article porte sur les solutions définies pour tout temps,
{i.e.} les solutions entières, de
$$u_t=u_{xx}+f(u),\ 0 où f est du type KPP sur [0,1]. Cette équation admet un nombre infini de solutions du type ondes progressives, ainsi que des solutions du type u(t). Nous avons construit quatre autres variétés de solutions, la plus grande étant de dimension 5, une autre étant de dimension 4 et deux autres de dimension 3. Un des moyens d'obtenir de nouvelles solutions entières est de considérer deux ondes venant de chaque côté de l'axe réel et se mélangeant. Enfin, les ondes progressives sont sur le bord de ces quatre nouvelles variétés de solutions. Abstract: This paper deals with the solutions defined for all time of the KPP equation$$u_t=u_{xx}+f(u),\ 0 where $f$ is a KPP type nonlinearity defined in $[0,1]$: $f(0)=f(1)=0$, $f'(0)>0$, $f'(1)<0$,
$f>0$ in $(0,1)$ and $f'(s)\le f'(0)$ in $[0,1]$. This equation admits infinitely many
travelling waves type solutions, increasing or decreasing in $x$. It also admits solutions
which only depend on $t$. In this paper, we build four other manifolds of solutions: one is
$5$-dimensional, one is $4$-dimensional and two are $3$-dimensional. Some of these
new solutions are obtained by considering two travelling waves which come from both
sides of the real axis and mix. Furthermore, the travelling waves solutions are on the
boundary of these four manifolds.

Mots Clés: KPP equation; Entire solutions; Travelling waves; Maximum principle; heat equation

Date: 1998-01-01