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Résumé: L'objet de ce travail est de fournir une présentation unifiée des
inégalités de Korn en coordonnées curvilignes, que ce
soit sur un domaine tridimensionnel dans $\R^3$ ou sur une surface dans $\R^3$. Ce travail repose sur
des travaux récents de M. Bernadou, V. Lods, B. Miara,
E. Sanchez-Palencia, et de l'Auteur. Il est bien
connu que l'inégalité de Korn tridimensionnelle joue un rôle fondamental
pour établir l'existence et l'unicité de la solution des
équations de l'élasticité linéarisée en coordonnées
cartésiennes. On montre pour commencer qu'une telle inégalité de Korn peut être en fait
directement établie en coordonnées curvilignes. De la même façon, l'existence et l'unicité de
la solution des équations bidimensionnelles de coques linéairement élastiques, telles que
celles de W.T. Koiter, des coques "en flexion"et des coques "membranaires", dépendent
d'inégalités de Korn sur une surface, exprimées en fonction de ses
coordonnées curvilignes. On établit ainsi une inégalité de Korn sur une surface "générale". Elle exprime que, pour des champs de
déplacement de la surface satisfaisant des conditions aux limites ad hoc, la somme des normes {\bf L}$^2$ des
tenseurs linéarisés de changement de métrique et de changement de courbure est équivalente
à la norme $H^1 \times H^1 \times H^2$ de ces déplacements (les
deux premières composantes sont tangentielles, la troisième est
normale). On établit enfin que, si la surface est elliptique (les rayons de courbure
sont partout de même signe) et l'encastrement est total, la norme {\bf
L}$^2$ du seul tenseur linéarisé de changement de métrique est eacute;quivalente à la
norme $H^1 \times H^1 \times H^2$ de ces déplacements.
Abstract: This article provides a unified presentation of inequalities of Korn's
type in curvilinear
coordinates, whether on a three-dimensional domain in $\R^3$ or on a
surface in $\R^3$. It is based on recent works of M.~Bernadou, V. Lods, B. Miara, E.
Sanchez-Palencia, and of the Author. It is well known that the
three-dimensional Korn inequality plays a fundamental role
for establishing the existence and uniqueness of a solution in linearized
elasticity in Cartesian coordinates. We first show that such a
three-dimensional Korn inequality can be in fact directly
established in curvilinear coordinates. The existence and uniqueness of
solutions of the ``Koiter'', ``flexural'', and ``membrane'' linear two-dimensional shell
equations likewise depend on ``inequalities of Korn type'' on a surface,
expressed in terms of its curvilinear coordinates.
We then establish an inequality of Korn's type on a ``general'' surface. It
expresses that, for displacement fields of the
surface that satisfy ad hoc boundary conditions,
the {\bf L}$^2$-norm of the linearized change of
metric tensor, plus the {\bf L}$^2$-norm of the linearized change of
curvature tensor is equivalent to the $H^1 \times H^1 \times H^2$-norm of these fields (both
tangential components of the displacement fields are in $H^1$ and their normal components are
in $H^2$). We finally establish that, if the surface $S$ is elliptic (its
radii of curvature are everywhere of the same
sign) and the shell is totally clamped, the {\bf
L}$^2$-norm of the
linearized change of metric alone is already equivalent to the $H^1 \times
H^1 \times H^2$-norm of these fields.
Mots Clés: élasticité, inégalités de Korn
Date: 1999-01-01